Encontre a solução getal da equação diferencial,
y^{\prime \prime}-\left(2+\frac{7}{x}\right) y^{\prime}+\left(\frac{7}{x}+1\right) y=0
sabendo que a sua soluçõ particular é dada por y_{1}(x)=e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' - \Bigl(2 + \frac{7}{x}\Bigr)y' + \Bigl(\frac{7}{x} + 1\Bigr)y = 0
sabendo que uma solução particular é y_{1}(x)=e^{x}. Vamos usar o método de redução de ordem (ou a fórmula direta) para encontrar uma segunda solução independente y_{2}(x) e, assim, obter a solução geral.

Passo 2

Para aplicar a fórmula de redução de ordem, escrevemos a equação na forma padrão
y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0,
onde
P(x) = -\Bigl(2 + \frac{7}{x}\Bigr).
A segunda solução pode ser obtida por
y_{2}(x) = y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.

Passo 3

Calculamos primeiro o expoente
\int P(x)\,dx = \int \Bigl(-2 - \frac{7}{x}\Bigr)\,dx = -2x - 7\ln x.
Logo
e^{-\int P(x)\,dx} = e^{2x + 7\ln x} = e^{2x}\,x^{7}.

Passo 4

Substituindo em y_{2}, temos
y_{2}(x) = e^{x}\int \frac{e^{2x}\,x^{7}}{\bigl(e^{x}\bigr)^{2}}\,dx = e^{x}\int x^{7}\,dx = e^{x}\,\frac{x^{8}}{8}.
Como constantes multiplicativas podem ser absorvidas em C_{2}, podemos tomar
y_{2}(x) = x^{8}e^{x}.

Passo 5

Um sistema fundamental de soluções é
\bigl\{y_{1}(x),y_{2}(x)\bigr\} = \bigl\{e^{x},\,x^{8}e^{x}\bigr\},
portanto a solução geral da equação é a combinação linear dessas funções.

Resposta

y(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}x^{8}e^{x}.

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