Determine os intervalos onde as funções são contínuas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar os intervalos em que
é contínua.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão dentro da raiz é
. - A raiz quadrada real
só aceita argumentos maiores ou iguais a . - É preciso encontrar o conjunto de
onde a função está definida e, em seguida, onde é contínua.
Passo 2
Primeiro encontramos o domínio, impondo que o interior da raiz seja não negativo:
Vou resolver essa desigualdade passo a passo. Podemos fatorar:
As raízes da expressão são
e
. A inequação
é satisfeita quando
está fora do intervalo entre as raízes, isto é, onde o produto tem sinal não negativo. Assim os intervalos possíveis são
ou
.
Passo 3
Concluímos que o domínio de
é
Esse é o conjunto de valores de
para os quais
está bem definida (peguei esses valores da condição
que acabei de resolver).
Passo 4
Agora vamos à continuidade. Vou usar fatos básicos, explicando cada um:
- Um polinômio é contínuo em todos os pontos. Em particular, a função
é contínua para todo . - A função raiz quadrada
é contínua em seu domínio . Isso significa que, se uma sequência com e , então . - Regra de composição: se
é contínua num ponto e é contínua em , então a composição é contínua em .
Esses fatos são usados com frequência em provas e em exercícios de prova: polinômios são “tranquilos” (contínuos), e a raiz é contínua onde faz sentido (argumento não negativo). Compor funções contínuas preserva continuidade.
Passo 5
Aplicando isso a
:
- Para qualquer
do domínio temos , então está sendo avaliada em um ponto do domínio onde é contínua. - Como
é contínua em todo e é contínua em , a composição é contínua em todo ponto do domínio. - Nota sobre extremos do domínio: em
e a função está definida ( ) e a continuidade é verificada considerando limites por valores do domínio; a composição contínua já garante continuidade também nesses pontos.