Determine os intervalos onde as funções são contínuas:
g(x)=\sqrt{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=\sqrt{x^{2}-4} e pede: determinar os intervalos em que g é contínua.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro da raiz é x^{2}-4.
  • A raiz quadrada real \sqrt{\cdot} só aceita argumentos maiores ou iguais a 0.
  • É preciso encontrar o conjunto de x onde a função está definida e, em seguida, onde é contínua.

Passo 2

Primeiro encontramos o domínio, impondo que o interior da raiz seja não negativo:
x^{2}-4 \ge 0.
Vou resolver essa desigualdade passo a passo. Podemos fatorar:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
As raízes da expressão são x=-2 e x=2. A inequação (x-2)(x+2)\ge0 é satisfeita quando x está fora do intervalo entre as raízes, isto é, onde o produto tem sinal não negativo. Assim os intervalos possíveis são x\le -2 ou x\ge 2.

Passo 3

Concluímos que o domínio de g é
(-\infty,-2] \cup [2,\infty).
Esse é o conjunto de valores de x para os quais g(x) está bem definida (peguei esses valores da condição x^{2}-4\ge0 que acabei de resolver).

Passo 4

Agora vamos à continuidade. Vou usar fatos básicos, explicando cada um:
  • Um polinômio é contínuo em todos os pontos. Em particular, a função h(x)=x^{2}-4 é contínua para todo x.
  • A função raiz quadrada r(t)=\sqrt{t} é contínua em seu domínio [0,\infty). Isso significa que, se uma sequência t_n\to t com t_n\ge0 e t\ge0, então \sqrt{t_n}\to\sqrt{t}.
  • Regra de composição: se h é contínua num ponto a e r é contínua em h(a), então a composição r\circ h é contínua em a.
Esses fatos são usados com frequência em provas e em exercícios de prova: polinômios são “tranquilos” (contínuos), e a raiz é contínua onde faz sentido (argumento não negativo). Compor funções contínuas preserva continuidade.

Passo 5

Aplicando isso a g:
  • Para qualquer x do domínio temos h(x)=x^{2}-4\ge0, então r está sendo avaliada em um ponto do domínio [0,\infty) onde é contínua.
  • Como h é contínua em todo x e r é contínua em h(x), a composição g(x)=r(h(x))=\sqrt{x^{2}-4} é contínua em todo ponto do domínio.
  • Nota sobre extremos do domínio: em x=2 e x=-2 a função está definida ( \sqrt{0}=0) e a continuidade é verificada considerando limites por valores do domínio; a composição contínua já garante continuidade também nesses pontos.

Resposta

(-\infty,-2]\cup[2,\infty)

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