Determine os intervalos onde as funções são contínuas:
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede: determinar os intervalos onde essa função é contínua.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é dada por uma razão de polinômios: numerador
e denominador . - Para uma função racional, possíveis problemas de continuidade aparecem onde o denominador é zero (esses pontos não pertencem ao domínio).
- Precisamos identificar esses pontos e analisar que tipo de descontinuidade ocorre neles (se a descontinuidade é removível ou não), para então escrever os intervalos de continuidade.
Passo 2
Relembrando o que significa “contínuo num ponto” (aula rápida e prática): uma função
é contínua em
se e somente se (i)
está definida, (ii)
existe e (iii)
.
Para funções racionais (frações de polinômios), a função é contínua em todo ponto do seu domínio. Portanto precisamos:
Para funções racionais (frações de polinômios), a função é contínua em todo ponto do seu domínio. Portanto precisamos:
- determinar o domínio de
(ou seja, os onde o denominador não é zero); - nos pontos onde o denominador é zero, ver se a descontinuidade é removível (limite finito e ambos os lados iguais) ou não (por exemplo, um pólo vertical).
Passo 3
Encontrar as raízes do numerador e do denominador fatorando-os (isso ajuda a ver cancelamentos e limites):
Portanto o denominador se anula quando
ou
. Logo o domínio de
é
— a função não está definida em
nem em
.
Passo 4
Simplificar a expressão, cancelando o fator comum
(válido para
):
Isso significa que, para qualquer
diferente de
e
,
coincide com a função racional simples
. Como
é uma função racional cujo denominador
só anula em
,
(e portanto
onde definida) é contínua em todo ponto com
.
Passo 5
Analisar a descontinuidade em
.
- O valor
não existe porque o denominador do enunciado é zero em . Portanto não pode ser contínua em (condição (i) da definição falha). - Calcular o limite quando
usando a forma simplificada :
O limite existe e é finito, mas
não está definido. Isso é a clássica descontinuidade removível em
: se redefiníssemos
a função ficaria contínua em
. Como não foi dada essa definição,
não é contínua em
.
Passo 6
Analisar a descontinuidade em
.
- Novamente
não existe (denominador zero). - Usando a forma simplificada, estudar os limites laterais:
Para
(valores menores que
),
é pequeno e negativo, enquanto
. Logo
Para
(valores maiores que
),
é pequeno e positivo, então
Os limites laterais divergem (um para
e outro para
), configurando uma descontinuidade essencial (pólo vertical) em
. Portanto
não é contínua em
.
Passo 7
Conclusão sobre os intervalos de continuidade: a função é contínua em todo ponto do domínio, que é
. Escrevendo em intervalos abertos máximos, os intervalos de continuidade são