Determine os intervalos onde as funções são contínuas:
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-4 x+3}

Passo 1

O enunciado dá a função racional f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}-4x+3} e pede: determinar os intervalos onde essa função é contínua.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é dada por uma razão de polinômios: numerador x^{2}-1 e denominador x^{2}-4x+3.
  • Para uma função racional, possíveis problemas de continuidade aparecem onde o denominador é zero (esses pontos não pertencem ao domínio).
  • Precisamos identificar esses pontos e analisar que tipo de descontinuidade ocorre neles (se a descontinuidade é removível ou não), para então escrever os intervalos de continuidade.

Passo 2

Relembrando o que significa “contínuo num ponto” (aula rápida e prática): uma função f é contínua em a se e somente se (i) f(a) está definida, (ii) \lim_{x\to a}f(x) existe e (iii) \lim_{x\to a}f(x)=f(a).
Para funções racionais (frações de polinômios), a função é contínua em todo ponto do seu domínio. Portanto precisamos:
  1. determinar o domínio de f (ou seja, os x onde o denominador não é zero);
  2. nos pontos onde o denominador é zero, ver se a descontinuidade é removível (limite finito e ambos os lados iguais) ou não (por exemplo, um pólo vertical).

Passo 3

Encontrar as raízes do numerador e do denominador fatorando-os (isso ajuda a ver cancelamentos e limites):
x^{2}-1=(x-1)(x+1)
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)
Portanto o denominador se anula quando x=1 ou x=3. Logo o domínio de f é \mathbb{R}\setminus\{1,3\} — a função não está definida em x=1 nem em x=3.

Passo 4

Simplificar a expressão, cancelando o fator comum (x-1) (válido para x\neq1):
f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-3)}=\frac{x+1}{x-3},\qquad x\neq1,3.
Isso significa que, para qualquer x diferente de 1 e 3, f(x) coincide com a função racional simples g(x)=\dfrac{x+1}{x-3}. Como g é uma função racional cujo denominador x-3 só anula em x=3, g (e portanto f onde definida) é contínua em todo ponto com x\neq1,3.

Passo 5

Analisar a descontinuidade em x=1.
  • O valor f(1) não existe porque o denominador do enunciado é zero em x=1. Portanto não pode ser contínua em 1 (condição (i) da definição falha).
  • Calcular o limite quando x\to1 usando a forma simplificada g(x):
\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}\frac{x+1}{x-3}=\frac{1+1}{1-3}=\frac{2}{-2}=-1.
O limite existe e é finito, mas f(1) não está definido. Isso é a clássica descontinuidade removível em x=1: se redefiníssemos f(1)=-1 a função ficaria contínua em 1. Como não foi dada essa definição, f não é contínua em 1.

Passo 6

Analisar a descontinuidade em x=3.
  • Novamente f(3) não existe (denominador zero).
  • Usando a forma simplificada, estudar os limites laterais:
Para x\to3^{-} (valores menores que 3), x-3 é pequeno e negativo, enquanto x+1\to4>0. Logo
\lim_{x\to3^{-}}f(x)=\lim_{x\to3^{-}}\frac{x+1}{x-3}=-\infty.
Para x\to3^{+} (valores maiores que 3), x-3 é pequeno e positivo, então
\lim_{x\to3^{+}}f(x)=\lim_{x\to3^{+}}\frac{x+1}{x-3}=+\infty.
Os limites laterais divergem (um para -\infty e outro para +\infty), configurando uma descontinuidade essencial (pólo vertical) em x=3. Portanto f não é contínua em 3.

Passo 7

Conclusão sobre os intervalos de continuidade: a função é contínua em todo ponto do domínio, que é \mathbb{R}\setminus\{1,3\}. Escrevendo em intervalos abertos máximos, os intervalos de continuidade são
(-\infty,1),\quad (1,3),\quad (3,\infty).

Resposta

(-\infty,1)\cup(1,3)\cup(3,\infty)

Exercícios relacionados