Determine os intervalos onde as funções são contínuas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar os intervalos de continuidade dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é
. - A função
só está definida quando o argumento é estritamente positivo (ou seja, ).
A partir disso, preciso achar para quaisa expressão é positiva e, depois, verificar se a função é contínua nesses pontos.
Passo 2
Encontrar o domínio da função (ou seja, onde ela está definida).
A condição para o argumento do logaritmo é
A condição para o argumento do logaritmo é
Vamos resolver essa desigualdade: somando
em ambos os lados e dividindo por
(como
, a desigualdade não se inverte),
Portanto a função está definida exatamente para os
tais que
.
Passo 3
Explicar por que a função é contínua em todo ponto do domínio encontrado.
Dois fatos básicos que vamos usar (explicados de forma simples):
Dois fatos básicos que vamos usar (explicados de forma simples):
- A função logaritmo natural
é contínua para todo . Isso significa que, se , então . Uma forma intuitiva de ver isso é lembrar que é a inversa da função exponencial , que é contínua e estritamente crescente; a inversa de uma função contínua estritamente monótona é contínua no intervalo imagem. - A função linear
é contínua para todo . Em particular, se então .
Agora usar composição: para um ponto fixo
com
temos
. Se
então, pela continuidade da linear,
. Aplicando a continuidade do
em
, obtemos
Isso mostra que a definição de continuidade em
(limite igual ao valor) é satisfeita para todo
. Logo
é contínua em todo ponto do conjunto
.
Passo 4
Discutir o comportamento na fronteira
e fora do domínio.
Em o argumento do logaritmo é
, e
não está definido. Ao aproximar
por valores maiores que
(isto é,
), tem-se
e
. Como a função não está definida em
e o limite lateral é
, não há continuidade nesse ponto. Para
a função nem sequer está definida, portanto também não é contínua aí.
Em
Passo 5
Conclusão final didática e um exemplo numérico rápido para fixar: escolha
(que é maior que
). Então
. Se
então
e
, confirmando continuidade em
. O mesmo raciocínio vale para qualquer
.