Determine os intervalos onde as funções são contínuas:
h(x)=\ln (2 x-3)

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=\ln(2x-3) e pede: determinar os intervalos de continuidade dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é h(x)=\ln(2x-3).
  • A função \ln(\cdot) só está definida quando o argumento é estritamente positivo (ou seja, \text{argumento}>0).
    A partir disso, preciso achar para quais x a expressão 2x-3 é positiva e, depois, verificar se a função é contínua nesses pontos.

Passo 2

Encontrar o domínio da função (ou seja, onde ela está definida).
A condição para o argumento do logaritmo é
2x-3>0.
Vamos resolver essa desigualdade: somando 3 em ambos os lados e dividindo por 2 (como 2>0, a desigualdade não se inverte),
2x-3>0 \quad\Rightarrow\quad 2x>3 \quad\Rightarrow\quad x>\tfrac{3}{2}.
Portanto a função está definida exatamente para os x tais que x>\tfrac{3}{2}.

Passo 3

Explicar por que a função é contínua em todo ponto do domínio encontrado.
Dois fatos básicos que vamos usar (explicados de forma simples):
  • A função logaritmo natural \ln(u) é contínua para todo u>0. Isso significa que, se u_n\to u_0>0, então \ln(u_n)\to\ln(u_0). Uma forma intuitiva de ver isso é lembrar que \ln é a inversa da função exponencial e^t, que é contínua e estritamente crescente; a inversa de uma função contínua estritamente monótona é contínua no intervalo imagem.
  • A função linear x\mapsto 2x-3 é contínua para todo x\in\mathbb{R}. Em particular, se x_n\to a então 2x_n-3\to 2a-3.
Agora usar composição: para um ponto fixo a com a>\tfrac{3}{2} temos 2a-3>0. Se x\to a então, pela continuidade da linear, 2x-3\to 2a-3. Aplicando a continuidade do \ln em 2a-3>0, obtemos
\lim_{x\to a}\ln(2x-3)=\ln\!\big(\lim_{x\to a}(2x-3)\big)=\ln(2a-3)=h(a).
Isso mostra que a definição de continuidade em a (limite igual ao valor) é satisfeita para todo a>\tfrac{3}{2}. Logo h é contínua em todo ponto do conjunto \{x\mid x>\tfrac{3}{2}\}.

Passo 4

Discutir o comportamento na fronteira x=\tfrac{3}{2} e fora do domínio.
Em x=\tfrac{3}{2} o argumento do logaritmo é 2\cdot\tfrac{3}{2}-3=0, e \ln(0) não está definido. Ao aproximar x por valores maiores que \tfrac{3}{2} (isto é, x\to\tfrac{3}{2}^+), tem-se 2x-3\to 0^+ e \ln(2x-3)\to -\infty. Como a função não está definida em x=\tfrac{3}{2} e o limite lateral é -\infty, não há continuidade nesse ponto. Para x<\tfrac{3}{2} a função nem sequer está definida, portanto também não é contínua aí.

Passo 5

Conclusão final didática e um exemplo numérico rápido para fixar: escolha a=2 (que é maior que \tfrac{3}{2}). Então h(2)=\ln(2\cdot2-3)=\ln(1)=0. Se x\to2 então 2x-3\to1 e \ln(2x-3)\to\ln(1)=0, confirmando continuidade em x=2. O mesmo raciocínio vale para qualquer a>\tfrac{3}{2}.

Resposta

\left(\tfrac{3}{2},\infty\right)

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