Determine os intervalos da reta real associados aos conjuntos:

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de x que podem ser escritos como x=y^3 para algum yinR. O conteúdo aqui é imagem (ou alcance) de uma função definida em todo R. Vamos precisar usar teoria de funções contínuas e monotônicas.

Passo 2

Considere a função f:RtoR dada por f(y)=y^3. Sabemos que y^3 é uma função polinomial de grau ímpar, portanto é contínua e estritamente crescente em R. Isso implica que sua imagem é um intervalo do tipo (inf f,sup f).

Passo 3

Para determinar esse intervalo, avaliamos os limites em cada extremidade do domínio:
limyto -inftyy^3=-infty, limyto +inftyy^3=+infty
Logo, a imagem de f é todo o eixo real.

Passo 4

Portanto, o conjunto xmid x=y^3,,yinR coincide com R, ou seja, o intervalo associado é todo o eixo real.

Resposta

(-\infty,; +\infty)

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