(1,0 pt) Determine a inversa da matriz:
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\\\ 2 & 3 & 1 \\\\ -3 & 1 & 3 \end{array}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se a inversa da matriz A.
  • A matriz fornecida é
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\\\ 2 & 3 & 1 \\\\ -3 & 1 & 3 \end{array}\right).
  • Meta: encontrar A^{-1} tal que A A^{-1}=I, onde I é a matriz identidade 3\times3.

Passo 2

O que é a matriz inversa e quando ela existe (mini-aula).
  • Definição: uma matriz quadrada A possui inversa A^{-1} se e somente se existe uma matriz B tal que
A B = B A = I.
  • Existência: A tem inversa se, e somente se, \det(A)\neq 0.
  • Método que vamos usar: primeiro verificar \det(A) (para confirmar que a inversa existe) e depois usar a eliminação de Gauss–Jordan sobre a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr]. A ideia da eliminação de Gauss–Jordan é aplicar operações elementares de linha (que correspondem a multiplicações à esquerda por matrizes elementares) para transformar o bloco esquerdo em I; o bloco direito ficará então igual a A^{-1}.

Passo 3

Calcular o determinante de A (verificação de invertibilidade) — técnica: regra de Sarrus para 3\times3.
Dados os elementos
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\\\ 2 & 3 & 1 \\\\ -3 & 1 & 3 \end{pmatrix},
pela regra de Sarrus
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}).
Substituindo os valores:
\det(A)=1\cdot 3\cdot 3 + 1\cdot 1\cdot (-3) + 2\cdot 2\cdot 1 -\bigl(2\cdot 3\cdot (-3) + 1\cdot 1\cdot 1 + 1\cdot 2\cdot 3\bigr).
Calcule passo a passo:
\text{parte positiva}=9-3+4=10,
\text{parte negativa} = -18+1+6 = -11.
Portanto
\det(A)=10-(-11)=21.
Como \det(A)=21\neq 0, a inversa existe e podemos prosseguir com Gauss–Jordan.

Passo 4

Montar a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr] e explicar as operações elementares.
Aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ -3 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Operações elementares que serão usadas:
  • Somar múltiplos de uma linha em outra linha (notação: R_i\leftarrow R_i + k R_j).
  • Multiplicar uma linha por uma constante não nula.
    Essas operações transformam \bigl[A\mid I\bigr] em \bigl[I\mid A^{-1}\bigr].

Passo 5

Eliminação na primeira coluna (tornar zeros abaixo de a_{11}).
Usamos R_1 como pivô ( a_{11}=1).
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
R_2: \; (2,3,1\mid 0,1,0) - 2(1,1,2\mid 1,0,0) = (0,1,-3\mid -2,1,0).
  • R_3 \leftarrow R_3 + 3R_1:
R_3: \; (-3,1,3\mid 0,0,1) + 3(1,1,2\mid 1,0,0) = (0,4,9\mid 3,0,1).
Matriz aumentada agora:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & -3 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 4 & 9 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 6

Eliminação na segunda coluna (usar a_{22}=1 como pivô e zerar as outras entradas na coluna 2).
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_2:
R_1: \; (1,1,2\mid 1,0,0) - (0,1,-3\mid -2,1,0) = (1,0,5\mid 3,-1,0).
  • R_3 \leftarrow R_3 - 4R_2:
R_3: \; (0,4,9\mid 3,0,1) - 4(0,1,-3\mid -2,1,0) = (0,0,21\mid 11,-4,1).
Matriz aumentada agora:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -3 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 21 & 11 & -4 & 1 \end{array}\right].

Passo 7

Eliminação na terceira coluna (normalizar o pivô e zerar acima).
  • Normalizar R_3 dividindo por 21:
R_3 \leftarrow \frac{1}{21}R_3 = (0,0,1\mid \tfrac{11}{21}, -\tfrac{4}{21}, \tfrac{1}{21}).
  • Eliminar o 5 em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - 5R_3:
R_1: \; (1,0,5\mid 3,-1,0) - 5(0,0,1\mid \tfrac{11}{21}, -\tfrac{4}{21}, \tfrac{1}{21})
= (1,0,0\mid 3 - \tfrac{55}{21},\\\ -1 + \tfrac{20}{21},\\\ 0 - \tfrac{5}{21}).
Calcule as frações:
3 - \tfrac{55}{21}=\tfrac{63-55}{21}=\tfrac{8}{21}, \qquad -1 + \tfrac{20}{21}=\tfrac{-21+20}{21}=-\tfrac{1}{21}, \qquad 0 - \tfrac{5}{21}=-\tfrac{5}{21}.
Logo
R_1=(1,0,0\mid \tfrac{8}{21}, -\tfrac{1}{21}, -\tfrac{5}{21}).
  • Eliminar o -3 em R_2: R_2 \leftarrow R_2 + 3R_3:
R_2: \; (0,1,-3\mid -2,1,0) + 3(0,0,1\mid \tfrac{11}{21}, -\tfrac{4}{21}, \tfrac{1}{21})
= (0,1,0\mid -2 + \tfrac{33}{21},\\\ 1 - \tfrac{12}{21},\\\ 0 + \tfrac{3}{21}).
Calcule as frações:
-2 + \tfrac{33}{21}=\tfrac{-42+33}{21}=-\tfrac{9}{21}=-\tfrac{3}{7},
1 - \tfrac{12}{21}=\tfrac{21-12}{21}=\tfrac{9}{21}=\tfrac{3}{7},
\tfrac{3}{21}=\tfrac{1}{7}.
Então
R_2=(0,1,0\mid -\tfrac{3}{7},\\ \tfrac{3}{7},\\ \tfrac{1}{7}).
Matriz aumentada final:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{8}{21} & -\tfrac{1}{21} & -\tfrac{5}{21} \\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac{3}{7} & \tfrac{3}{7} & \tfrac{1}{7} \\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{11}{21} & -\tfrac{4}{21} & \tfrac{1}{21} \end{array}\right].
Agora o bloco esquerdo é a identidade, logo o bloco direito é A^{-1}.

Passo 8

Apresentar A^{-1} de forma limpa (simplificando frações quando possível).
Das entradas obtidas:
A^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{8}{21} & -\tfrac{1}{21} & -\tfrac{5}{21} \\\\ -\tfrac{3}{7} & \tfrac{3}{7} & \tfrac{1}{7} \\\ \tfrac{11}{21} & -\tfrac{4}{21} & \tfrac{1}{21} \end{pmatrix}.
Observação: algumas entradas podem ser escritas com denominador 21 para uniformidade:
A^{-1}=\frac{1}{21}\begin{pmatrix} 8 & -1 & -5 \\\\ -9 & 9 & 3 \\\\ 11 & -4 & 1 \end{pmatrix},
pois -\tfrac{3}{7}=-\tfrac{9}{21}, \tfrac{3}{7}=\tfrac{9}{21}, \tfrac{1}{7}=\tfrac{3}{21}.

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{8}{21} & -\tfrac{1}{21} & -\tfrac{5}{21} \\\\ -\tfrac{3}{7} & \tfrac{3}{7} & \tfrac{1}{7} \\\ \tfrac{11}{21} & -\tfrac{4}{21} & \tfrac{1}{21} \end{pmatrix}

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