(1,5 pts) Suponha que \operatorname{det}\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right)=8. Determine: \operatorname{det}\left(\begin{array}{lll}d-g & 3 g & 2 a+d \\\ f-i & 3 i & 2 c+f \\\ e-h & 3 h & 2 b+e\end{array}\right).
Justifique todas as passagens utilizando propriedades de determinantes.
Passo 1
O enunciado dá a informação
\det\!\begin{pmatrix}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{pmatrix}=8.
Denotarei essa matriz por
M=\begin{pmatrix}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{pmatrix}.
Pede-se determinar
\det\!\begin{pmatrix}d-g & 3 g & 2 a+d \\\ f-i & 3 i & 2 c+f \\\ e-h & 3 h & 2 b+e\end{pmatrix}.
Chamarei a matriz pedida de
N=\begin{pmatrix}d-g & 3 g & 2 a+d \\\ f-i & 3 i & 2 c+f \\\ e-h & 3 h & 2 b+e\end{pmatrix}.
Resumo do que se tem: o valor de \det(M) é 8. O objetivo é calcular \det(N) justificando cada passo com propriedades de determinantes.
Passo 2
Usarei a propriedade \det(A)=\det(A^{T}). Então é equivalente calcular \det(N^{T}). Escrevo N^{T}:
Observe que os coeficientes nas colunas de M aparecem em N^{T} mas com as colunas 2 e 3 trocadas. Defino a matriz obtida de M trocando as colunas 2 e 3:
M'=\begin{pmatrix}a & c & b \\\ d & f & e \\\ g & i & h\end{pmatrix},
ou seja, M' tem colunas (\text{col}_1(M),\\ \text{col}_3(M),\\ \text{col}_2(M)). Trocar duas colunas de uma matriz multiplica o determinante por -1, portanto
\det(M')=-\det(M)=-8.
Passo 4
Chamando as linhas de M' por \;S_{1},S_{2},S_{3} (linhas como vetores linha):
(Confirmação elemento a elemento: por exemplo \text{linha}_1 tem entradas (d-g,\;f-i,\;e-h) que são exatamente S_{2}-S_{3}; as outras linhas conferem analogamente.)
Passo 5
Agora uso as propriedades bilineares/multilineares do determinante em relação às linhas.
Escrevo
Extraí o 2 da terceira linha na última igualdade.
4) Logo
\det(N^{T})=6\,\det(S_{2},S_{3},S_{1}).
Agora relaciono \det(S_{2},S_{3},S_{1}) com \det(M')=\det(S_{1},S_{2},S_{3}). A passagem de (S_{1},S_{2},S_{3}) para (S_{2},S_{3},S_{1}) é uma permutação cíclica (1\;2\;3), que é um ciclo de comprimento 3 e tem sinal +1 (ou seja, paridade par). Portanto