(1,5 pts) Suponha que \operatorname{det}\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right)=8. Determine: \operatorname{det}\left(\begin{array}{lll}d-g & 3 g & 2 a+d \\\ f-i & 3 i & 2 c+f \\\ e-h & 3 h & 2 b+e\end{array}\right).
Justifique todas as passagens utilizando propriedades de determinantes.

Passo 1

O enunciado dá a informação
\det\!\begin{pmatrix}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{pmatrix}=8.
Denotarei essa matriz por
M=\begin{pmatrix}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{pmatrix}.
Pede-se determinar
\det\!\begin{pmatrix}d-g & 3 g & 2 a+d \\\ f-i & 3 i & 2 c+f \\\ e-h & 3 h & 2 b+e\end{pmatrix}.
Chamarei a matriz pedida de
N=\begin{pmatrix}d-g & 3 g & 2 a+d \\\ f-i & 3 i & 2 c+f \\\ e-h & 3 h & 2 b+e\end{pmatrix}.
Resumo do que se tem: o valor de \det(M) é 8. O objetivo é calcular \det(N) justificando cada passo com propriedades de determinantes.

Passo 2

Usarei a propriedade \det(A)=\det(A^{T}). Então é equivalente calcular \det(N^{T}). Escrevo N^{T}:
N^{T}= \begin{pmatrix} d-g & f-i & e-h\\[4pt] 3g & 3i & 3h\\[4pt] 2a+d & 2c+f & 2b+e \end{pmatrix}.]

Passo 3

Observe que os coeficientes nas colunas de M aparecem em N^{T} mas com as colunas 2 e 3 trocadas. Defino a matriz obtida de M trocando as colunas 2 e 3:
M'=\begin{pmatrix}a & c & b \\\ d & f & e \\\ g & i & h\end{pmatrix},
ou seja, M' tem colunas (\text{col}_1(M),\\ \text{col}_3(M),\\ \text{col}_2(M)). Trocar duas colunas de uma matriz multiplica o determinante por -1, portanto
\det(M')=-\det(M)=-8.

Passo 4

Chamando as linhas de M' por \;S_{1},S_{2},S_{3} (linhas como vetores linha):
S_{1}=(a\; c\; b),\qquad S_{2}=(d\; f\; e),\qquad S_{3}=(g\; i\; h),
verifico que as linhas de N^{T} são combinações lineares dessas S_{j}:
\text{linha}_1(N^{T})=S_{2}-S_{3}, \qquad \text{linha}_2(N^{T})=3S_{3}, \qquad \text{linha}_3(N^{T})=2S_{1}+S_{2}.
(Confirmação elemento a elemento: por exemplo \text{linha}_1 tem entradas (d-g,\;f-i,\;e-h) que são exatamente S_{2}-S_{3}; as outras linhas conferem analogamente.)

Passo 5

Agora uso as propriedades bilineares/multilineares do determinante em relação às linhas.
Escrevo
\det(N^{T})=\det(S_{2}-S_{3},\;3S_{3},\;2S_{1}+S_{2}).
Passo a passo justificando operações:
  1. Extraio o fator 3 da segunda linha:
\det(N^{T})=3\,\det(S_{2}-S_{3},\;S_{3},\;2S_{1}+S_{2}).
(Propriedade: multiplicar uma linha por constante k multiplica o determinante por k.)
2) Uso linearidade da primeira linha:
\det(S_{2}-S_{3},\;S_{3},\;2S_{1}+S_{2}) =\det(S_{2},S_{3},2S_{1}+S_{2})-\det(S_{3},S_{3},2S_{1}+S_{2}).
Mas \det(S_{3},S_{3},\cdot)=0 porque há duas linhas iguais, logo a segunda parcela é zero. Portanto
\det(N^{T})=3\,\det(S_{2},S_{3},2S_{1}+S_{2}).
  1. Uso linearidade da terceira linha:
\det(S_{2},S_{3},2S_{1}+S_{2}) = \det(S_{2},S_{3},2S_{1})+\det(S_{2},S_{3},S_{2}).
Novamente \det(S_{2},S_{3},S_{2})=0 por repetição de linhas. Assim
\det(N^{T})=3\,\det(S_{2},S_{3},2S_{1})=3\cdot 2\,\det(S_{2},S_{3},S_{1}).
Extraí o 2 da terceira linha na última igualdade.
4) Logo
\det(N^{T})=6\,\det(S_{2},S_{3},S_{1}).
Agora relaciono \det(S_{2},S_{3},S_{1}) com \det(M')=\det(S_{1},S_{2},S_{3}). A passagem de (S_{1},S_{2},S_{3}) para (S_{2},S_{3},S_{1}) é uma permutação cíclica (1\;2\;3), que é um ciclo de comprimento 3 e tem sinal +1 (ou seja, paridade par). Portanto
\det(S_{2},S_{3},S_{1})=\det(S_{1},S_{2},S_{3})=\det(M').
Assim
\det(N^{T})=6\,\det(M').

Passo 6

Substituo \det(M')=-8 (do Passo 3) na expressão do Passo 5:
\det(N^{T})=6\cdot(-8)=-48.
Finalmente, como \det(N)=\det(N^{T}), concluo que
\det(N)=-48.

Resposta

-48

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