Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
(y)\left\{\begin{array}{c}x+y+z=6 \\\\ 2 x+y+z=8 \\\\ 3 x+2 y+2 z=14 \\\\ 3 x+y+z=10\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o sistema dado:
  • Classificar o sistema (se é compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível).
  • Resolver o sistema quando for possível (ou seja, dar todas as soluções).
O sistema fornecido tem quatro equações e três incógnitas; escrevo-o explicitamente (peguei todas as equações do enunciado):
\begin{cases} x+y+z=6,\\[4pt] 2x+y+z=8,\\[4pt] 3x+2y+2z=14,\\[4pt] 3x+y+z=10. \end{cases}
Informações relevantes que temos desde o início:
  • Há mais equações (4) do que incógnitas (3).
  • As incógnitas são x,\;y,\;z.
  • O objetivo é verificar consistência e, se possível, encontrar todas as soluções.]

Passo 2

Primeira ideia prática (redução direta): subtrair a primeira equação da segunda para eliminar y e z e obter uma equação só em x. Explico o porquê: quando duas equações têm os mesmos coeficientes para y e z, subtraí‑las cancela y e z, sobrando apenas x.
Faço a subtração (2)\!-\!(1):
(2x+y+z)-(x+y+z)=8-6.
No lado esquerdo os y e z cancelam, restando
x=2.
Então já obtemos imediatamente \;x=2.

Passo 3

Com \;x=2 vamos substituir nas outras equações para encontrar relações entre y e z. Substituo em (1), (3) e (4):
Na equação (1):
2 + y + z = 6 \quad\Rightarrow\quad y+z = 4.
Na equação (4):
3\cdot 2 + y + z = 10 \quad\Rightarrow\quad 6 + y + z = 10 \quad\Rightarrow\quad y+z = 4.
Na equação (3):
3\cdot 2 + 2y + 2z = 14 \quad\Rightarrow\quad 6 + 2(y+z) = 14 \quad\Rightarrow\quad 2(y+z)=8 \quad\Rightarrow\quad y+z=4.
Observação importante: ao substituir x=2 nas três equações restantes, todas resultaram na mesma relação \;y+z=4. Isso indica que as três equações restantes não impõem condições diferentes sobre y e z; elas são compatíveis entre si.

Passo 4

Interpretação: temos x=2 fixo e apenas uma equação independente restante entre y e z, \;y+z=4. Logo não há uma única solução para (y,z), mas uma família de soluções com um parâmetro livre.
Para formalizar a classificação usando vocabulario padrão: considere a matriz dos coeficientes A e o vetor ampliado (termos independentes). O que fizemos mostrou que as quatro equações reduzem-se a duas equações independentes efetivas (por exemplo a primeira e a diferença que deu x=2). Assim o posto (rank) da matriz dos coeficientes é 2 e o posto da matriz ampliada também é 2. Como os postos coincidem e são menores que o número de incógnitas ( 3), o sistema é compatível indeterminado (ou seja, há infinitas soluções descritas por parâmetros).
Explicação curta do critério usado: se rank(A) = rank(Aumentada) = r < número de incógnitas, então há infinitas soluções com n-r graus de liberdade. Aqui n=3 e r=2, logo 3-2=1 parâmetro livre.

Passo 5

Agora escrevo a solução geral de forma explícita e prática (do jeito que dá para usar numa prova): escolho um parâmetro livre para z; chamo z=t, com t\in\mathbb{R}. A partir de \;y+z=4 temos
y = 4 - z = 4 - t.
E já sabemos \;x=2.
Portanto a solução geral é
(x,y,z) = \bigl(2,\;4-t,\;t\bigr),\qquad t\in\mathbb{R}.
Também posso escrever em forma vetorial:
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto confirma que há uma reta de soluções no espaço \mathbb{R}^3 (grau de liberdade 1).

Resposta

Classificação: sistema compatível indeterminado (infinitas soluções).
Solução geral: (x,y,z)=(2,\;4-t,\;t) para \;t\in\mathbb{R}.

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