Determine a inversa das seguintes funções :
Passo 1
O enunciado pede a função inversa de
.
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
- A função que vamos inverter é
- Para qualquer
temos , então e - Como o argumento da função seno está em
(radianos) e , a função é estritamente crescente nesse intervalo. Logo, é estritamente crescente em e, portanto, invertível. - A imagem (contradomínio efetivo) de
é porque quando varia em , produz valores em .
Passo 2
Vamos escrever a equação que liga
(valor da função) e
(variável original). Seja
com
. Nosso objetivo é isolar
em função de
.
Passo 3
Como
é estritamente crescente em
, podemos aplicar a função inversa
(a versão principal do arco-seno, com valores em
) em ambos os lados sem ambiguidade. Aplicando
obtemos
Aqui usamos que, para
,
, e como
então
.
Passo 4
Agora resolvemos a equação obtida para
. Tomando recíproco dos dois lados (note que
, então o recíproco está bem definido):
Subtraindo
de ambos os lados:
Colocando em um único quociente:
Observação: isso é positivo porque
, então
.
Passo 5
Para achar
aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados. Lembrando que
é a inversa da exponencial
, temos:
Passo 6
Portanto a função inversa
é dada por
com domínio
Verificação rápida (exemplo): se
então
,
e
. Aplicando a fórmula da inversa,
e
como esperado.