Determine a inversa das seguintes funções :
\operatorname{sen}\left(\frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a função inversa de \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}\right).
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
  • A função que vamos inverter é f(x)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}\right).
  • Para qualquer x\in\mathbb{R} temos \mathrm{e}^{x}>0, então 1+\mathrm{e}^{x}>1 e \frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}\in(0,1).
  • Como o argumento da função seno está em (0,1) (radianos) e 1<\frac{\pi}{2}, a função \operatorname{sen} é estritamente crescente nesse intervalo. Logo, f é estritamente crescente em \mathbb{R} e, portanto, invertível.
  • A imagem (contradomínio efetivo) de f é f(\mathbb{R})=\bigl(0,\operatorname{sen}(1)\bigr),porque quando \frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}} varia em (0,1), \operatorname{sen} produz valores em (\operatorname{sen}(0),\operatorname{sen}(1))=(0,\operatorname{sen}(1)).

Passo 2

Vamos escrever a equação que liga y (valor da função) e x (variável original). Seja
y=\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}\right),
com y\in\bigl(0,\operatorname{sen}(1)\bigr). Nosso objetivo é isolar x em função de y.

Passo 3

Como \operatorname{sen} é estritamente crescente em (0,1), podemos aplicar a função inversa \operatorname{arcsen} (a versão principal do arco-seno, com valores em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]) em ambos os lados sem ambiguidade. Aplicando \operatorname{arcsen} obtemos
\operatorname{arcsen}(y)=\frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}.
Aqui usamos que, para t\in(0,1), \operatorname{arcsen}(\operatorname{sen}(t))=t, e como y\in(0,\operatorname{sen}(1)) então \operatorname{arcsen}(y)\in(0,1).

Passo 4

Agora resolvemos a equação obtida para \mathrm{e}^{x}. Tomando recíproco dos dois lados (note que \operatorname{arcsen}(y)>0, então o recíproco está bem definido):
\frac{1}{\operatorname{arcsen}(y)}=1+\mathrm{e}^{x}.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
\mathrm{e}^{x}=\frac{1}{\operatorname{arcsen}(y)}-1.
Colocando em um único quociente:
\mathrm{e}^{x}=\frac{1-\operatorname{arcsen}(y)}{\operatorname{arcsen}(y)}.
Observação: isso é positivo porque \operatorname{arcsen}(y)\in(0,1), então 1-\operatorname{arcsen}(y)>0.

Passo 5

Para achar x aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados. Lembrando que \ln é a inversa da exponencial \mathrm{e}^{(\cdot)}, temos:
x=\ln\!\left(\frac{1-\operatorname{arcsen}(y)}{\operatorname{arcsen}(y)}\right).

Passo 6

Portanto a função inversa f^{-1} é dada por
f^{-1}(y)=\ln\!\left(\frac{1-\operatorname{arcsen}(y)}{\operatorname{arcsen}(y)}\right),
com domínio
y\in\bigl(0,\operatorname{sen}(1)\bigr).
Verificação rápida (exemplo): se x=0 então \mathrm{e}^{0}=1, \frac{1}{1+\mathrm{e}^{0}}=\tfrac{1}{2} e y=\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{2}\right). Aplicando a fórmula da inversa, \operatorname{arcsen}(y)=\tfrac{1}{2} e
f^{-1}(y)=\ln\!\left(\frac{1-\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}\right)=\ln(1)=0,
como esperado.

Resposta

f^{-1}(y)=\ln\!\left(\frac{1-\operatorname{arcsen}(y)}{\operatorname{arcsen}(y)}\right),\qquad 0<y<\operatorname{sen}(1)

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