Determine as inversas das seguinte funções:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
- Função dada:
. - Informações implícitas que valem sempre para
: a base satisfaz e . - O enunciado pede: determinar a função inversa
de .
Passo 2
O que é uma função inversa e o método padrão (mini-aula):
- Definição informal:
“desfaz” o que faz; isto é, para todo do domínio de . - Método prático para achar
: - Escreve-se
. - Resolve-se essa equação para
em termos de . - Troca-se o papel de
e (substituir por no resultado) — esse é .
- Escreve-se
- Lembrete sobre logaritmos: a relação fundamental é
. Isso é o que vamos usar para “deslogaritmar”.
Passo 3
Aplicando o método: escrever
e isolar
.
- Começar colocando
. - Subtrair
dos dois lados para isolar o logaritmo: - Usar a definição do logaritmo para passar à forma exponencial: da equivalência
obtemos
Passo 4
Trocar
e
para escrever a inversa:
- Substituindo
por na expressão anterior, a função inversa é - Reforçando as condições sobre a base: esta fórmula vale para
e .
Passo 5
Domínio e imagem da inversa (por que isso importa na prova):
- O domínio de
é (pois só está definida para ). Logo a imagem de é . - A imagem de
é todo (pois atinge todos os reais; somar apenas desloca), logo o domínio de é . - Resumindo:
e .
Passo 6
Checagem rápida com um exemplo numérico (ajuda a fixar):
- Se escolher
, então e . - Verificação:
. Funciona!