Determine as inversas das seguinte funções:
f(x)=1+\log _{a}(x)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • Função dada: f(x)=1+\log_{a}(x).
  • Informações implícitas que valem sempre para \log_{a}: a base satisfaz a>0 e a\neq1.
  • O enunciado pede: determinar a função inversa f^{-1} de f.

Passo 2

O que é uma função inversa e o método padrão (mini-aula):
  • Definição informal: f^{-1} “desfaz” o que f faz; isto é, f^{-1}(f(x))=x para todo x do domínio de f.
  • Método prático para achar f^{-1}:
    1. Escreve-se y=f(x).
    2. Resolve-se essa equação para x em termos de y.
    3. Troca-se o papel de x e y (substituir y por x no resultado) — esse é f^{-1}(x).
  • Lembrete sobre logaritmos: a relação fundamental é \log_{a}(x)=b \iff x=a^{b}. Isso é o que vamos usar para “deslogaritmar”.

Passo 3

Aplicando o método: escrever y=f(x) e isolar x.
  • Começar colocando y=1+\log_{a}(x).
  • Subtrair 1 dos dois lados para isolar o logaritmo: y-1=\log_{a}(x).
  • Usar a definição do logaritmo para passar à forma exponencial: da equivalência \log_{a}(x)=y-1 \iff x=a^{\,y-1} obtemos x=a^{\,y-1}.

Passo 4

Trocar x e y para escrever a inversa:
  • Substituindo y por x na expressão anterior, a função inversa é f^{-1}(x)=a^{\,x-1}.
  • Reforçando as condições sobre a base: esta fórmula vale para a>0 e a\neq1.

Passo 5

Domínio e imagem da inversa (por que isso importa na prova):
  • O domínio de f é x>0 (pois \log_{a}(x) só está definida para x>0). Logo a imagem de f^{-1} é (0,\infty).
  • A imagem de f é todo \mathbb{R} (pois \log_{a}(x) atinge todos os reais; somar 1 apenas desloca), logo o domínio de f^{-1} é \mathbb{R}.
  • Resumindo: \mathcal{D}(f^{-1})=\mathbb{R} e \mathrm{Im}(f^{-1})=(0,\infty).

Passo 6

Checagem rápida com um exemplo numérico (ajuda a fixar):
  • Se escolher a=10, então f(x)=1+\log_{10}x e f^{-1}(x)=10^{\,x-1}.
  • Verificação: f^{-1}(f(100))=10^{\,\big(1+\log_{10}100\big)-1}=10^{\log_{10}100}=100. Funciona!

Resposta

f^{-1}(x)=a^{\,x-1}

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