Considere que o decaimento de um determinado isótopo radioativo do elemento X satisfaz à EDO linear abaixo, com y em gramas e t em milhares de anos. Determine o tempo de meia-vida para uma amostra inicial de 50 gramas desse isótopo.
(t+10) \frac{d y}{d t}+2 y=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede o tempo de meia-vida para uma amostra inicial de 50 gramas. Vou listar claramente o que temos e o que se pede.
  • EDO dada: (t+10)\dfrac{dy}{dt}+2y=1, com y em gramas e t em milhares de anos.
  • Condição inicial (amostra inicial): y(0)=50 gramas.
  • Pedido: tempo de meia-vida, ou seja, o valor de t>0 tal que y(t)=\dfrac{y(0)}{2}=\dfrac{50}{2}=25 gramas.
  • Observação sobre unidades: t será obtido em milhares de anos; converter para anos se for desejado.

Passo 2

Identificar o método de resolução e relembrar a ideia principal (mini-aula): trata-se de uma EDO linear de primeira ordem. Uma EDO linear de primeira ordem tem a forma
\frac{dy}{dt}+P(t)\,y=Q(t),
onde P(t) e Q(t) são funções de t. O método padrão é usar um fator integrante \mu(t)=\exp\!\left(\int P(t)\,dt\right). Multiplicando a EDO por \mu(t) transformamos o lado esquerdo em derivada do produto \dfrac{d}{dt}(\mu(t)y), o que torna a equação integrável diretamente. Vou aplicar isso passo a passo ao nosso caso.

Passo 3

Colocar a EDO na forma padrão dividindo por (t+10) (note que t+10\neq0 para t>-10; aqui nos interessam t\ge0):
\frac{dy}{dt}+\frac{2}{t+10}\,y=\frac{1}{t+10}.
Aqui P(t)=\dfrac{2}{t+10} e Q(t)=\dfrac{1}{t+10}.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(t):
\mu(t)=\exp\!\left(\int P(t)\,dt\right)=\exp\!\left(\int \frac{2}{t+10}\,dt\right).
A integral é \int \dfrac{2}{t+10}\,dt=2\ln|t+10|=\ln\big((t+10)^2\big). Logo
\mu(t)=\exp\!\big(\ln((t+10)^2)\big)=(t+10)^2,
tomando o ramo positivo do quadrado (fator integrante positivo).

Passo 5

Multiplicar a EDO padrão por \mu(t)=(t+10)^2. O lado esquerdo vira derivada do produto:
(t+10)^2\frac{dy}{dt}+2(t+10)\,y=\frac{d}{dt}\big((t+10)^2 y\big).
O lado direito é
(t+10)^2\cdot\frac{1}{t+10}=t+10.
Portanto a equação transformada é
\frac{d}{dt}\big((t+10)^2 y\big)=t+10.
Agora integramos ambos os lados em relação a t:
(t+10)^2 y=\int (t+10)\,dt=\frac{(t+10)^2}{2}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolar y(t) para obter a solução geral:
y(t)=\frac{1}{2}+\frac{C}{(t+10)^2}.
Agora usamos a condição inicial y(0)=50 para determinar C. Substituindo t=0:
50=\frac{1}{2}+\frac{C}{10^2}=\frac{1}{2}+\frac{C}{100}.
Subtraindo \tfrac{1}{2}:
50-\frac{1}{2}=\frac{C}{100}\quad\Rightarrow\quad \frac{99}{2}=\frac{C}{100}.
Multiplicando por 100:
C=100\cdot\frac{99}{2}=50\cdot99=4950.
Portanto a solução particular é
y(t)=\frac{1}{2}+\frac{4950}{(t+10)^2}.

Passo 7

Definir e calcular a meia-vida T como o tempo positivo tal que y(T)=25. Substituindo na expressão de y(t):
25=\frac{1}{2}+\frac{4950}{(T+10)^2}.
Subtrair \tfrac{1}{2}:
25-\frac{1}{2}=\frac{4950}{(T+10)^2}\quad\Rightarrow\quad \frac{49}{2}=\frac{4950}{(T+10)^2}.
Isolando (T+10)^2:
(T+10)^2=\frac{4950}{\tfrac{49}{2}}=\frac{4950\cdot2}{49}=\frac{9900}{49}.
Tomando raiz quadrada (escolhendo o sinal positivo porque T+10>0):
T+10=\sqrt{\frac{9900}{49}}=\frac{\sqrt{9900}}{7}=\frac{10\sqrt{99}}{7}.
Portanto
T=\frac{10\sqrt{99}}{7}-10.

Passo 8

Dar uma aproximação numérica e indicar unidades. Calculemos \sqrt{99}\approx 9{,}949874, então
T\approx\frac{10\cdot 9{,}949874}{7}-10\approx 4{,}214\quad\text{(milhares de anos)}.
Convertendo para anos:
T\approx 4{,}214\times10^{3}\\ \text{anos}\approx 4214\\ \text{anos}.
Interpretação rápida e motivação: esse valor significa que, a partir de 50 gramas no tempo t=0, a amostra decai para 25 gramas após aproximadamente 4{,}214 milhares de anos (cerca de 4214 anos).

Resposta

T=\dfrac{10\sqrt{99}}{7}-10\\ \text{(em milhares de anos)}\approx 4{,}214\\ \text{milhares de anos}
T\approx 4{,}214\times10^{3}\\ \text{anos}\approx 4214\\ \text{anos}

Exercícios relacionados