Considere que o decaimento de um determinado isótopo radioativo do elemento X satisfaz à EDO linear abaixo, com y em gramas e t em milhares de anos. Determine o tempo de meia-vida para uma amostra inicial de 50 gramas desse isótopo.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede o tempo de meia-vida para uma amostra inicial de
gramas. Vou listar claramente o que temos e o que se pede.
- EDO dada:
, com em gramas e em milhares de anos. - Condição inicial (amostra inicial):
gramas. - Pedido: tempo de meia-vida, ou seja, o valor de
tal que gramas. - Observação sobre unidades:
será obtido em milhares de anos; converter para anos se for desejado.
Passo 2
Identificar o método de resolução e relembrar a ideia principal (mini-aula): trata-se de uma EDO linear de primeira ordem. Uma EDO linear de primeira ordem tem a forma
onde
e
são funções de
. O método padrão é usar um fator integrante
. Multiplicando a EDO por
transformamos o lado esquerdo em derivada do produto
, o que torna a equação integrável diretamente. Vou aplicar isso passo a passo ao nosso caso.
Passo 3
Colocar a EDO na forma padrão dividindo por
(note que
para
; aqui nos interessam
):
Aqui
e
.
Passo 4
Calcular o fator integrante
:
A integral é
. Logo
tomando o ramo positivo do quadrado (fator integrante positivo).
Passo 5
Multiplicar a EDO padrão por
. O lado esquerdo vira derivada do produto:
O lado direito é
Portanto a equação transformada é
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolar
para obter a solução geral:
Agora usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Subtraindo
:
Multiplicando por
:
Portanto a solução particular é
Passo 7
Definir e calcular a meia-vida
como o tempo positivo tal que
. Substituindo na expressão de
:
Subtrair
:
Isolando
:
Tomando raiz quadrada (escolhendo o sinal positivo porque
):
Portanto
Passo 8
Dar uma aproximação numérica e indicar unidades. Calculemos
, então
Convertendo para anos:
Interpretação rápida e motivação: esse valor significa que, a partir de
gramas no tempo
, a amostra decai para
gramas após aproximadamente
milhares de anos (cerca de
anos).