Suponha que, ao começar a trabalhar, você decida investir \mathrm{R} \ 2.000,00$ por ano em uma poupança. Presumindo que você não tenha nenhum investimento prévio e que a poupança irá render 5% ao ano, capitalizados continuamente, quanto você terá acumulado após 30 anos?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Depósito anual: \mathrm{R}\$2.000,00 por ano (ou seja, uma taxa de aporte de \mathrm{R}\$2.000,00 por ano).
    • Taxa de juros nominal anual (capitalizada continuamente): r=0{,}05 (ou seja, 5\% ao ano, capitalização contínua).
    • Horizonte: T=30 anos.
    • Saldo inicial: 0.
  • Pergunta:
    • Quanto será acumulado após 30 anos?

Passo 2

Interpretação do modelo e escolha do método (por que escolhi esse caminho).
O enunciado diz que os juros são “capitalizados continuamente”. Há duas interpretações possíveis para os aportes de \mathrm{R}\$2.000,00 por ano:
  1. Aportes discretos anuais (por exemplo, \mathrm{R}\$2.000,00 no fim ou no início de cada ano).
  2. Aporte contínuo equivalendo a uma taxa de aporte de \mathrm{R}\$2.000,00 por ano, distribuída continuamente ao longo do ano.
Como o enunciado enfatiza capitalização contínua e para modelar de forma direta e consistente com isso (e porque é a fórmula padrão em juros contínuos), vou tratar os aportes como contínuos à razão constante R=\mathrm{R}\$2.000,00 por ano. Se o professor quisesse aportes discretos anuais ele normalmente diria explicitamente “ \mathrm{R}\$2.000 a cada ano, no final (ou início) do ano”. Então vou usar o modelo contínuo — é simples, didático e compatível com juros contínuos.

Passo 3

Montando o modelo matemático (a ideia física/intuitiva).
  • Definições:
    • R = taxa de aporte contínuo em \mathrm{R}\$ por ano; aqui R=\mathrm{R}\$2.000,00.
    • r = taxa de juros nominal com capitalização contínua; aqui r=0{,}05.
    • T = tempo total em anos; aqui T=30.
  • Intuição: um pequeno aporte feito no instante t (onde 0\le t\le T) terá tempo de acumular juros igual a T-t. Com capitalização contínua, um valor x aplicado por tempo \tau cresce para x e^{r\tau}. Então um aporte infinitesimal R\,dt feito no tempo t valerá no tempo T
    R\,dt \cdot e^{r(T-t)}.
    Para achar o total acumulado somamos (integrando) todos esses pequenos aportes de t=0 até t=T.

Passo 4

Escrever a integral e resolvê-la (a conta formal).
O valor acumulado S(T) é
S(T)=\int_{0}^{T} R\,e^{r(T-t)}\,dt.
Podemos resolver a integral passo a passo:
S(T)=R\,e^{rT}\int_{0}^{T} e^{-r t}\,dt.
A integral de uma exponencial é simples:
\int_{0}^{T} e^{-r t}\,dt = \left[-\frac{1}{r} e^{-r t}\right]_{0}^{T} = -\frac{1}{r}\bigl(e^{-rT}-1\bigr)=\frac{1}{r}\bigl(1-e^{-rT}\bigr).
Substituindo de volta,
S(T)=R\,e^{rT}\cdot \frac{1}{r}\bigl(1-e^{-rT}\bigr)=R\cdot\frac{e^{rT}-1}{r}.
Essa é a fórmula padrão do valor futuro de aportes contínuos com juros contínuos.

Passo 5

Substituir os números e calcular passo a passo.
  • Valores:
    • R=\mathrm{R}\$2.000,00
    • r=0{,}05
    • T=30
Aplicando a fórmula:
S(30)=\mathrm{R}\$2.000{,}00\cdot\frac{e^{0{,}05\cdot30}-1}{0{,}05}.
Calculemos e^{0{,}05\cdot30}=e^{1{,}5}.
  • Uma aproximação numérica: e^{1{,}5}\approx 4{,}48168907.
Portanto
e^{1{,}5}-1 \approx 4{,}48168907-1 = 3{,}48168907.
Dividindo por r=0{,}05:
\frac{e^{1{,}5}-1}{0{,}05} \approx \frac{3{,}48168907}{0{,}05}=69{,}6337814.
Multiplicando por R=\mathrm{R}\$2.000{,}00:
S(30)\approx \mathrm{R}\$2.000{,}00\times69{,}6337814 \approx \mathrm{R}\$139.267{,}5628.
Arredondando para centavos (moeda):
S(30)\approx \mathrm{R}\$139.267{,}56.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo (sem alterar o resultado).
Isso significa que, se você aplicar continuamente o equivalente a \mathrm{R}\$2.000,00 por ano em uma conta que rende 5\% ao ano com capitalização contínua, ao fim de 30 anos você terá cerca de \mathrm{R}\$139.267{,}56. Boa notícia: a combinação de tempo e juros contínuos dá uma força bem legal ao montante acumulado — aos poucos vai ficando significativo. Força nos estudos; isso fica bem automático quando decoramos a fórmula!

Resposta

\mathrm{R}\$139.267{,}56

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