Suponha que, ao começar a trabalhar, você decida investir
2.000,00$ por ano em uma poupança. Presumindo que você não tenha nenhum investimento prévio e que a poupança irá render 5% ao ano, capitalizados continuamente, quanto você terá acumulado após 30 anos?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Depósito anual:
por ano (ou seja, uma taxa de aporte de por ano). - Taxa de juros nominal anual (capitalizada continuamente):
(ou seja, ao ano, capitalização contínua). - Horizonte:
anos. - Saldo inicial:
.
- Depósito anual:
-
Pergunta:
- Quanto será acumulado após
anos?
- Quanto será acumulado após
Passo 2
Interpretação do modelo e escolha do método (por que escolhi esse caminho).
O enunciado diz que os juros são “capitalizados continuamente”. Há duas interpretações possíveis para os aportes de
por ano:
- Aportes discretos anuais (por exemplo,
no fim ou no início de cada ano). - Aporte contínuo equivalendo a uma taxa de aporte de
por ano, distribuída continuamente ao longo do ano.
Como o enunciado enfatiza capitalização contínua e para modelar de forma direta e consistente com isso (e porque é a fórmula padrão em juros contínuos), vou tratar os aportes como contínuos à razão constante
por ano. Se o professor quisesse aportes discretos anuais ele normalmente diria explicitamente “
a cada ano, no final (ou início) do ano”. Então vou usar o modelo contínuo — é simples, didático e compatível com juros contínuos.
Passo 3
Montando o modelo matemático (a ideia física/intuitiva).
-
Definições:
-
= taxa de aporte contínuo em por ano; aqui . -
= taxa de juros nominal com capitalização contínua; aqui . -
= tempo total em anos; aqui .
-
-
Intuição: um pequeno aporte feito no instante
(onde ) terá tempo de acumular juros igual a . Com capitalização contínua, um valor aplicado por tempo cresce para . Então um aporte infinitesimal feito no tempo valerá no tempo Para achar o total acumulado somamos (integrando) todos esses pequenos aportes deaté .
Passo 4
Escrever a integral e resolvê-la (a conta formal).
O valor acumulado
é
Podemos resolver a integral passo a passo:
A integral de uma exponencial é simples:
Substituindo de volta,
Essa é a fórmula padrão do valor futuro de aportes contínuos com juros contínuos.
Passo 5
Substituir os números e calcular passo a passo.
- Valores:
-
Aplicando a fórmula:
Calculemos
.
- Uma aproximação numérica:
.
Portanto
Dividindo por
:
Multiplicando por
:
Arredondando para centavos (moeda):
Passo 6
Interpretação curta e incentivo (sem alterar o resultado).
Isso significa que, se você aplicar continuamente o equivalente a
por ano em uma conta que rende
ao ano com capitalização contínua, ao fim de
anos você terá cerca de
. Boa notícia: a combinação de tempo e juros contínuos dá uma força bem legal ao montante acumulado — aos poucos vai ficando significativo. Força nos estudos; isso fica bem automático quando decoramos a fórmula!