Determine um inverso de 3 módulo 7 .

Passo 1

O enunciado pede: encontrar um inverso de \,3 módulo \,7.\n
Ou seja, precisamos achar um inteiro \,x tal que
3x \equiv 1 \pmod{7}.
Informações dadas: o número \,3 e o módulo \,7. Não há outras condições.

Passo 2

O que significa "inverso de \,3 módulo \,7"?\n
Significa encontrar um número \,x que, multiplicado por \,3, dê resto \,1 na divisão por \,7. Em linguagem algébrica precisamos resolver
3x \equiv 1 \pmod{7}.
Um ponto importante: um inverso só existe se \gcd(3,7)=1. Vou calcular o \gcd usando o algoritmo de Euclides:
7 = 2\cdot 3 + 1,
3 = 3\cdot 1 + 0.
Como o último resto não nulo é \,1, temos \gcd(3,7)=1. Logo o inverso existe.

Passo 3

Método direto por tentativa (útil aqui porque o módulo é pequeno): testar \,x=1,2,\dots,6 e ver qual satisfaz \,3x\equiv1\pmod{7}.\n
Calculemos os produtos e seus restos mod \,7:
3\cdot 1 = 3 \equiv 3 \pmod{7},
3\cdot 2 = 6 \equiv 6 \pmod{7},
3\cdot 3 = 9 \equiv 2 \pmod{7},
3\cdot 4 = 12 \equiv 5 \pmod{7},
3\cdot 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7}.
Aqui encontramos que \,3\cdot 5\equiv1\pmod{7}. Portanto \,x=5 é um inverso de \,3 módulo \,7.

Passo 4

Método via algoritmo de Euclides estendido (útil para casos gerais): a partir de
7 = 2\cdot 3 + 1
isolamos o resto 1:
1 = 7 - 2\cdot 3.
Isso é uma identidade do tipo 1 = a\cdot 3 + b\cdot 7. Aqui vemos que
1 = (-2)\cdot 3 + 1\cdot 7.
Tomando essa igualdade módulo \,7 obtemos
(-2)\cdot 3 \equiv 1 \pmod{7}.
Portanto -2 é um inverso de \,3 modulo \,7. Para obter o representante entre 0 e 6 somamos 7:
-2 \equiv -2 + 7 \equiv 5 \pmod{7}.
Resulta o mesmo que encontramos por tentativa: 5 é o inverso.

Passo 5

Observação final e pequena prova de unicidade do inverso modulo \,7: se existissem dois inversos \,x e \,y tais que 3x\equiv1 e 3y\equiv1 (mod \,7), então subtraindo obtemos 3(x-y)\equiv0 (mod \,7). Como \gcd(3,7)=1, isso implica x-y\equiv0 (mod \,7), ou seja x\equiv y (mod \,7). Logo o inverso é único módulo \,7.

Resposta

\,5 \pmod{7}

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