Determine um inverso de 3 módulo 7 .
Passo 1
O enunciado pede: encontrar um inverso de
módulo
.\n
Ou seja, precisamos achar um inteiro tal que
Ou seja, precisamos achar um inteiro
Informações dadas: o número
e o módulo
. Não há outras condições.
Passo 2
O que significa "inverso de
módulo
"?\n
Significa encontrar um número que, multiplicado por
, dê resto
na divisão por
. Em linguagem algébrica precisamos resolver
Significa encontrar um número
Um ponto importante: um inverso só existe se
. Vou calcular o
usando o algoritmo de Euclides:
Como o último resto não nulo é
, temos
. Logo o inverso existe.
Passo 3
Método direto por tentativa (útil aqui porque o módulo é pequeno): testar
e ver qual satisfaz
.\n
Calculemos os produtos e seus restos mod :
Calculemos os produtos e seus restos mod
Aqui encontramos que
. Portanto
é um inverso de
módulo
.
Passo 4
Método via algoritmo de Euclides estendido (útil para casos gerais): a partir de
isolamos o resto
:
Isso é uma identidade do tipo
. Aqui vemos que
Tomando essa igualdade módulo
obtemos
Portanto
é um inverso de
modulo
. Para obter o representante entre
e
somamos
:
Resulta o mesmo que encontramos por tentativa:
é o inverso.
Passo 5
Observação final e pequena prova de unicidade do inverso modulo
: se existissem dois inversos
e
tais que
e
(mod
), então subtraindo obtemos
(mod
). Como
, isso implica
(mod
), ou seja
(mod
). Logo o inverso é único módulo
.