Resolva a congruência 33 x \equiv 38(\bmod 280).

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver a congruência 33x \equiv 38 \pmod{280}, ou seja, encontrar todos os inteiros x que satisfazem essa relação módulo 280.
Informações dadas: o coeficiente do x é 33, o resto desejado é 38 e o módulo é 280.
Meta explícita: achar a(s) classe(s) de solução x módulo 280.

Passo 2

Entendimento da condição necessária e estratégia: para resolver 33x \equiv 38 \pmod{280} precisamos saber se 33 tem inverso multiplicativo módulo 280. Isso depende do máximo divisor comum \gcd(33,280). Se \gcd(33,280)=1, então 33 é invertível modulo 280 e existe uma solução única modulo 280. Se \gcd(33,280)=d>1, seria preciso verificar se d divide 38 e então reduzir. Vamos calcular o \gcd usando o algoritmo de Euclides.
Cálculo do \gcd:
280 = 8\cdot 33 + 16
33 = 2\cdot 16 + 1
16 = 16\cdot 1 + 0
Da última linha não-nula, concluímos que
\gcd(33,280)=1.
Como o \gcd é 1, 33 tem inverso módulo 280 e haverá exatamente uma solução na classe modulo 280.

Passo 3

Encontrar o inverso de 33 módulo 280 usando a retro-substituição (algoritmo extendido de Euclides). Das igualdades acima temos:
1 = 33 - 2\cdot 16.
Mas 16 veio de 280 - 8\cdot 33. Substituindo:
1 = 33 - 2(280 - 8\cdot 33).
Desenvolvendo:
1 = 33 - 2\cdot 280 + 16\cdot 33 = 17\cdot 33 - 2\cdot 280.
Isso significa que, reduzindo módulo 280,
17\cdot 33 \equiv 1 \pmod{280}.
Portanto 17 é um inverso multiplicativo de 33 modulo 280 (poderíamos usar 17+280k também).
Verificação rápida: 33\cdot 17 = 561 e 561 \equiv 1 \pmod{280} porque 561-2\cdot 280 = 1.

Passo 4

Aplicar o inverso à congruência original para isolar x. Multiplicando ambos os lados de
33x \equiv 38 \pmod{280}
pelo inverso 17 obtemos
x \equiv 17\cdot 38 \pmod{280}.
Calcule 17\cdot 38:
17\cdot 38 = 646.
Reduzindo modulo 280:
646 - 2\cdot 280 = 646 - 560 = 86.
Logo
x \equiv 86 \pmod{280}.

Passo 5

Checagem final: substituir x=86 na congruência inicial:
33\cdot 86 = 2838.
Reduzindo módulo 280: 2838 - 10\cdot 280 = 2838 - 2800 = 38. Portanto 33\cdot 86 \equiv 38 \pmod{280}, confirma que a solução está correta. Como \gcd(33,280)=1, essa é a solução única na classe modulo 280.

Resposta

x \equiv 86 \pmod{280}

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