Mostre que 5 é um inverso de 3 módulo 7 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 5 é um inverso de 3 módulo 7.
Informações dadas: o número 3, o número 5 e o módulo 7.
O que devemos provar: que, ao multiplicar 3 por 5 e reduzir módulo 7, o resultado é congruente a 1 (essa é a definição de inverso multiplicativo modulo 7).

Passo 2

O que significa "inverso multiplicativo módulo 7"?
Uma explicação passo a passo e bem simples: dizer que b é inverso de a módulo m significa que
a\cdot b \equiv 1 \pmod{m}.
Aqui a\cdot b é o produto entre dois inteiros e a congruência \equiv significa que a diferença a\cdot b - 1 é divisível por m. Em palavras: quando dividimos a\cdot b por m, o resto deve ser 1.

Passo 3

Vamos calcular o produto entre 3 e 5:
3\cdot 5 = 15.
Isso é só multiplicação normal — primeiro passo prático.

Passo 4

Agora reduzimos 15 módulo 7. Isso significa ver qual é o resto da divisão de 15 por 7. Dividindo,
15 = 2\cdot 7 + 1,
ou seja, o resto é 1. Em linguagem de congruências:
15 \equiv 1 \pmod{7}.

Passo 5

Como 3\cdot 5 = 15 e 15\equiv 1\pmod{7}, juntando as igualdades obtemos
3\cdot 5 \equiv 1 \pmod{7}.
Pelo que dissemos na definição, isso mostra exatamente que 5 é um inverso multiplicativo de 3 módulo 7.

Passo 6

(Fato extra — ajuda a entender por que o inverso existe e é único modulo 7): como \gcd(3,7)=1 (os números são primos entre si), existe um inverso de 3 módulo 7. Se quisermos encontrar esse inverso via o algoritmo de Euclides estendido, fazemos:
7 = 2\cdot 3 + 1 \quad\Rightarrow\quad 1 = 7 - 2\cdot 3.
Isso mostra que -2 é uma solução para o coeficiente na combinação linear 3x + 7y = 1. Tomando congruência módulo 7,
3\cdot(-2) \equiv 1 \pmod{7},
ou seja, -2 é inverso de 3 módulo 7. Como trabalhamos módulo 7, -2\equiv 5\pmod{7}, então 5 também é inverso — é a forma positiva usual de escrever o inverso.

Resposta

5 é inverso multiplicativo de 3 módulo 7.

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