Mostre que 5 é um inverso de 3 módulo 7 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é um inverso de
módulo
.
Informações dadas: o número , o número
e o módulo
.
O que devemos provar: que, ao multiplicar por
e reduzir módulo
, o resultado é congruente a
(essa é a definição de inverso multiplicativo modulo
).
Informações dadas: o número
O que devemos provar: que, ao multiplicar
Passo 2
O que significa "inverso multiplicativo módulo
"?
Uma explicação passo a passo e bem simples: dizer que é inverso de
módulo
significa que
Uma explicação passo a passo e bem simples: dizer que
Aqui
é o produto entre dois inteiros e a congruência
significa que a diferença
é divisível por
. Em palavras: quando dividimos
por
, o resto deve ser
.
Passo 3
Vamos calcular o produto entre
e
:
Isso é só multiplicação normal — primeiro passo prático.
Passo 4
Agora reduzimos
módulo
. Isso significa ver qual é o resto da divisão de
por
. Dividindo,
ou seja, o resto é
. Em linguagem de congruências:
Passo 5
Como
e
, juntando as igualdades obtemos
Pelo que dissemos na definição, isso mostra exatamente que
é um inverso multiplicativo de
módulo
.
Passo 6
(Fato extra — ajuda a entender por que o inverso existe e é único modulo
): como
(os números são primos entre si), existe um inverso de
módulo
. Se quisermos encontrar esse inverso via o algoritmo de Euclides estendido, fazemos:
Isso mostra que
é uma solução para o coeficiente na combinação linear
. Tomando congruência módulo
,
ou seja,
é inverso de
módulo
. Como trabalhamos módulo
,
, então
também é inverso — é a forma positiva usual de escrever o inverso.