Determine nos itens abaixo se A for diagonalizável. Em caso afirmativo, encontre uma matriz P que diagonaliza A e determine P^{-1} A P.
A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & -2 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}
é diagonalizável. O procedimento envolve calcular o polinômio característico, encontrar os valores próprios e seus vetores próprios, montar uma base de autovetores (matriz P) e verificar que P^{-1}AP é diagonal.

Passo 2

Para obter o polinômio característico de A, calculamos \det(A - \lambda I). Como
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & -2 & -2\\\\ 0 & 1-\lambda & 0\\\\ 0 & 2 & 3-\lambda \end{pmatrix},
temos por expansão pela primeira coluna
\det(A - \lambda I) =(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 0\\\ 2 & 3-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)\bigl((1-\lambda)(3-\lambda)-0\cdot2\bigr) =(1-\lambda)^2(3-\lambda).

Passo 3

Os valores próprios são as raízes do polinômio característico, ou seja
\lambda_1 = 1\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda_2 = 3\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé
Para \lambda=1\), resolvemos \((A-I)v=0\), o que leva ao sistema \[\begin{cases} -2v_2-2v_3=0,\\\\ 0=0,\\\\ 2v_2+2v_3=0, \end{cases}
ou seja v_2+v_3=0\]. Tomando \(v_1 livre e v_3 livre, obtemos um espaço de dimensão 2 gerado por
v^{(1)} = (1,0,0)^T,\quad v^{(2)} = (0,-1,1)^T.
Para \lambda=3, resolvemos (A-3I)v=0, que dá y=0 e x+z=0. Logo o espaço próprio é unidimensional, gerado por
v^{(3)} = (-1,0,1)^T.

Passo 4

Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 2+1=3, igual à ordem da matriz, concluímos que A é diagonalizável. Escolhendo como colunas de P os autovetores
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},
temos que as colunas correspondem a \lambda=1,1,3, respectivamente.

Passo 5

Calculamos a inversa de P. Um modo é usar a adjunta e o determinante \det P=-1. O resultado é
P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Finalmente, avaliamos
P^{-1}AP =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & -1& 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Resposta

A matriz A é diagonalizável. Uma escolha possível é
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},
e
P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

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