Determine nos itens abaixo se A for diagonalizável. Em caso afirmativo, encontre uma matriz P que diagonaliza A e determine P^{-1} A P. A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & -2 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 3\end{array}\right).
é diagonalizável. O procedimento envolve calcular o polinômio característico, encontrar os valores próprios e seus vetores próprios, montar uma base de autovetores (matriz P) e verificar que P^{-1}AP é diagonal.
Passo 2
Para obter o polinômio característico de A, calculamos \det(A - \lambda I). Como
Para \lambda=1\), resolvemos \((A-I)v=0\), o que leva ao sistema
\[\begin{cases} -2v_2-2v_3=0,\\\\ 0=0,\\\\ 2v_2+2v_3=0, \end{cases}
ou seja v_2+v_3=0\]. Tomando \(v_1 livre e v_3 livre, obtemos um espaço de dimensão 2 gerado por
v^{(1)} = (1,0,0)^T,\quad v^{(2)} = (0,-1,1)^T.
Para \lambda=3, resolvemos (A-3I)v=0, que dá y=0 e x+z=0. Logo o espaço próprio é unidimensional, gerado por
v^{(3)} = (-1,0,1)^T.
Passo 4
Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 2+1=3, igual à ordem da matriz, concluímos que A é diagonalizável. Escolhendo como colunas de P os autovetores