Seja
A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 7 & -6 \\\\ -1 & 4 & 0 \\\\ 0 & 2 & -2 \end{array}\right),
A matriz A é diagonalizável? Caso afirmativo, encontre a matriz P invertível e verifique a igualdade D=P^{-1} A P.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 7 & -6\\\\ -1 & 4 & 0\\\\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}
e pergunta se A é diagonalizável. Para isso vamos calcular o polinômio característico, achar seus autovalores (e vetores próprios) e montar uma matriz P de vetores próprios tal que
D = P^{-1} A P
seja diagonal.

Passo 2

Calculamos o determinante \det(A - \lambda I):
\det\begin{pmatrix} -\lambda & 7 & -6\\\\ -1 & 4-\lambda & 0\\\\ 0 & 2 & -2-\lambda \end{pmatrix} =-\bigl(\lambda-2\bigr)\bigl(\lambda-1\bigr)\bigl(\lambda+1\bigr).
Logo o polinômio característico é
-(\lambda-2)(\lambda-1)(\lambda+1)=0,
de onde os autovalores são \lambda_1=2, \lambda_2=1 e \lambda_3=-1.

Passo 3

Como os três autovalores são distintos, concluímos que A é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Basta agora encontrar um autovetor para cada autovalor.

Passo 4

Para \lambda=2 resolvemos (A-2I)v=0, isto é
\begin{pmatrix} -2 & 7 & -6\\\\ -1 & 2 & 0\\\\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Dessas equações obtemos x=2y e y=2z. Tomando z=1 temos
v_1=\begin{pmatrix}4\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda=1 resolvemos (A-I)v=0, i.e.
\begin{pmatrix} -1 & 7 & -6\\\\ -1 & 3 & 0\\\\ 0 & 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
x=3y e z=\tfrac23y. Escolhendo y=3 temos
v_2=\begin{pmatrix}9\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 6

Para \lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0, i.e.
\begin{pmatrix} 1 & 7 & -6\\\\ -1 & 5 & 0\\\\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
x=5y e z=2y. Tomando y=1 obtemos
v_3=\begin{pmatrix}5\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 7

Formamos a matriz P cujas colunas são v_1,v_2,v_3 e a diagonal D com os autovalores na mesma ordem:
P = \begin{pmatrix} 4 & 9 & 5\\\\ 2 & 3 & 1\\\\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Como A v_i = \lambda_i v_i para i=1,2,3, segue A P = P D, isto é
P^{-1} A P = D.

Resposta

A matriz A é diagonalizável. Uma escolha possível é
P = \begin{pmatrix} 4 & 9 & 5\\\\ 2 & 3 & 1\\\\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
que satisfaz D = P^{-1} A P.

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