Seja
A matriz
é diagonalizável? Caso afirmativo, encontre a matriz
invertível e verifique a igualdade
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pergunta se
é diagonalizável. Para isso vamos calcular o polinômio característico, achar seus autovalores (e vetores próprios) e montar uma matriz
de vetores próprios tal que
seja diagonal.
Passo 2
Calculamos o determinante
:
Logo o polinômio característico é
de onde os autovalores são
,
e
.
Passo 3
Como os três autovalores são distintos, concluímos que
é diagonalizável sobre
. Basta agora encontrar um autovetor para cada autovalor.
Passo 4
Para
resolvemos
, isto é
Dessas equações obtemos
e
. Tomando
temos
Passo 5
Para
resolvemos
, i.e.
Dá
e
. Escolhendo
temos
Passo 6
Para
resolvemos
, i.e.
Dá
e
. Tomando
obtemos
Passo 7
Formamos a matriz
cujas colunas são
e a diagonal
com os autovalores na mesma ordem:
Como
para
, segue
, isto é
Resposta
A matriz
é diagonalizável. Uma escolha possível é
que satisfaz
.