Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
T: M(2,2) \rightarrow M(2,2) dada por T\left(\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}2 c & a+c \\\ b-2 c & d\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da transformação linear
T\colon M_{2\times2}(\mathbb{R}) \to M_{2\times2}(\mathbb{R}),
definida por
T\bigl(\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\bigr) = \begin{pmatrix}2c & a+c \\\ b-2c & d\end{pmatrix}.
Para resolver, usaremos uma base canônica de M_{2\times2}, representaremos T por matriz e acharemos seu polinômio característico e vetores próprios.

Passo 2

Escolhemos a base
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\\ E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\\ E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\\ E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Se X=aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}, então
T(X) =2c\,E_{11}+(a+c)\,E_{12}+(b-2c)\,E_{21}+d\,E_{22}.
Logo, na coordenada (a,b,c,d) temos
T\colon (a,b,c,d)\mapsto(0\cdot a+0\cdot b+2\cdot c+0\cdot d,\;1\cdot a+0\cdot b+1\cdot c+0\cdot d,\;0\cdot a+1\cdot b-2\cdot c+0\cdot d,\;0\cdot a+0\cdot b+0\cdot c+1\cdot d).

Passo 3

A representação matricial de T nessa base é
M=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Note que separamos um bloco 3\times3
A=\begin{pmatrix}0&0&2\\\ 1&0&1\\\ 0&1&-2\end{pmatrix}
nas primeiras três coordenadas e uma entrada 1 isolada na quarta, correspondente a d.

Passo 4

O polinômio característico de M é
\det(M-\lambda I) =\det(A-\lambda I_{3})\,(1-\lambda).
Para A calculamos
\det(A-\lambda I_{3}) =\det\begin{pmatrix}-\lambda&0&2\\\ 1&-\lambda&1\\\ 0&1&-2-\lambda\end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha obtemos
\det(A-\lambda I_{3}) =-\lambda\bigl(\lambda^2+2\lambda-1\bigr)+2\cdot1 =-\lambda^3-2\lambda^2+\lambda+2.
Multiplicando por -1
\lambda^3+2\lambda^2-\lambda-2=0.

Passo 5

Fatorando \lambda^3+2\lambda^2-\lambda-2 por tentativa de raízes inteiras, \lambda=1 é raiz. Fazendo divisão de polinômios,
\lambda^3+2\lambda^2-\lambda-2=(\lambda-1)(\lambda^2+3\lambda+2) =(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda+2).
Logo os autovalores de A são \lambda=1,-1,-2. Como M ainda tem o fator (1-\lambda), T tem autovalores
\lambda=1\\ (\text{dupla}),\quad \lambda=-1,\quad \lambda=-2.

Passo 6

Para cada autovalor de A resolvemos (A-\lambda I_{3})x=0.
1. \lambda=1:
A-I_{3}=\begin{pmatrix}-1&0&2\\\ 1&-1&1\\\ 0&1&-3\end{pmatrix},
sistema \{-a+2c=0,\;a-b+c=0,\;b-3c=0\} a=2c,\;b=3c.
Vetor próprio em (a,b,c) é c(2,3,1), i.e.
X_1=\begin{pmatrix}2&3\\\ 1&0\end{pmatrix}.
2. \lambda=-1:
A+I_{3}=\begin{pmatrix}1&0&2\\\ 1&1&1\\\ 0&1&-1\end{pmatrix},
sistema \{a+2c=0,\;a+b+c=0,\;b-c=0\} a=-2c,\;b=c.
Vetor próprio é
X_2=\begin{pmatrix}-2&1\\\ 1&0\end{pmatrix}.
3. \lambda=-2:
A+2I_{3}=\begin{pmatrix}2&0&2\\\ 1&2&1\\\ 0&1&0\end{pmatrix},
sistema \{2a+2c=0,\;a+2b+c=0,\;b=0\} a=-c,\;b=0.
Vetor próprio é
X_3=\begin{pmatrix}-1&0\\\ 1&0\end{pmatrix}.

Passo 7

O fator (1-\lambda) isolado em M corresponde ao subespaço gerado por
E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix},
que satisfaz T(E_{22})=E_{22}.

Passo 8

Reunindo, os autovalores e vetores próprios de T são:
\bullet \lambda=1 (multiplicidade geométrica 2), com vetores próprios
\begin{pmatrix}2&3\\\ 1&0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
\bullet \lambda=-1, vetor próprio
\begin{pmatrix}-2&1\\\ 1&0\end{pmatrix}.
\bullet \lambda=-2, vetor próprio
\begin{pmatrix}-1&0\\\ 1&0\end{pmatrix}.

Resposta

Os autovalores de T são
\lambda=1\\ (\text{dupla}),\quad \lambda=-1,\quad \lambda=-2,
com espaços próprios gerados, respectivamente, por
\begin{pmatrix}2&3\\\ 1&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}; \quad \begin{pmatrix}-2&1\\\ 1&0\end{pmatrix}; \quad \begin{pmatrix}-1&0\\\ 1&0\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados