Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
dada por
.
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores da transformação linear
definida por
Para resolver, usaremos uma base canônica de
, representaremos
por matriz e acharemos seu polinômio característico e vetores próprios.
Passo 2
Escolhemos a base
Se
, então
Logo, na coordenada
temos
Passo 3
A representação matricial de
nessa base é
Note que separamos um bloco
nas primeiras três coordenadas e uma entrada
isolada na quarta, correspondente a
.
Passo 4
O polinômio característico de
é
Para
calculamos
Expandindo pela primeira linha obtemos
Multiplicando por
dá
Passo 5
Fatorando
por tentativa de raízes inteiras,
é raiz. Fazendo divisão de polinômios,
Logo os autovalores de
são
. Como
ainda tem o fator
,
tem autovalores
Passo 6
Para cada autovalor de
resolvemos
.
sistema
dá
.
Vetor próprio em é
, i.e.
Vetor próprio em
sistema
dá
.
Vetor próprio é
Vetor próprio é
sistema
dá
.
Vetor próprio é
Vetor próprio é
Passo 7
O fator
isolado em
corresponde ao subespaço gerado por
que satisfaz
.
Passo 8
Reunindo, os autovalores e vetores próprios de
são:
Resposta
Os autovalores de
são
com espaços próprios gerados, respectivamente, por