Determine quais itens são verdadeiros e quais itens são falsos, justificando sua resposta.
O conjunto
é subespaço de
.
O conjunto
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pergunta: determinar se o conjunto
é subespaço de (verdadeiro ou falso) e justificar. - O enunciado fornece o conjunto
- Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A primeira equação é
. - A segunda condição é
, isto é, a segunda coordenada é o valor absoluto da terceira coordenada .
- A primeira equação é
Passo 2
Definição e critérios que vamos usar (explicação didática):
-
Para um subconjunto
ser subespaço linear, é necessário e suficiente que: -
não seja vazio (em particular, o vetor nulo deve pertencer a ); -
seja fechado na soma: para todos vale ; -
seja fechado na multiplicação escalar: para todo e todo vale .
-
-
Intuição simples: um subespaço é um conjunto que contém o zero e, se você somar ou multiplicar por escalar vetores de dentro dele, permanece dentro dele. Se qualquer uma dessas propriedades falhar já basta para concluir que não é subespaço.
Passo 3
Verificação do vetor nulo:
- Verificar
: - Para
tem , satisfeito. - E
e , portanto também é satisfeito.
- Para
- Conclusão:
contém o vetor nulo, ou seja, a propriedade (1) está OK.
Passo 4
Observação chave sobre a condição
:
- Como
, sempre vale para todo . Então todas as segundas coordenadas dos vetores de são não-negativas. - Isso já dá uma pista: multiplicar por um escalar negativo pode tornar a segunda coordenada negativa, e então o vetor resultante não pode satisfazer
(porque o lado esquerdo seria negativo e o lado direito não-negativo), salvo o caso trivial .
Passo 5
Contraexemplo para fechamento por multiplicação escalar (prova de falha):
- Tome o vetor
Verificar que : -
, OK. -
e , logo , OK.
-
- Multiplique por
: Verificar se : -
ainda satisfaz a primeira equação. - Porém agora
e . Assim porque .
-
- Conclusão:
. Portanto não é fechado sob multiplicação por escalares (propriedade (3) falha). Logo não é subespaço.
Passo 6
(Caso queira ver também a soma falhar) Contraexemplo para fechamento por soma:
- Considere
Ambos estão em (verificações: para cada um e ). - A soma é
Verificar ? Tem e , logo . Então a soma não pertence a . - Isso confirma também que
não é fechado na adição.
Resposta
Falso