Determine quais itens são verdadeiros e quais itens são falsos, justificando sua resposta.
O conjunto W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+y=0, y=|z|\right\} é subespaço de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pergunta: determinar se o conjunto W é subespaço de \mathbb{R}^{3} (verdadeiro ou falso) e justificar.
  • O enunciado fornece o conjunto
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: x+y=0,\; y=|z|\}.
  • Informações relevantes extraídas do enunciado:
    • A primeira equação é x+y=0.
    • A segunda condição é y=|z|, isto é, a segunda coordenada y é o valor absoluto da terceira coordenada z.

Passo 2

Definição e critérios que vamos usar (explicação didática):
  • Para um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^3 ser subespaço linear, é necessário e suficiente que:
    1. S não seja vazio (em particular, o vetor nulo (0,0,0) deve pertencer a S);
    2. S seja fechado na soma: para todos u,v\in S vale u+v\in S;
    3. S seja fechado na multiplicação escalar: para todo \alpha\in\mathbb{R} e todo u\in S vale \alpha u\in S.
  • Intuição simples: um subespaço é um conjunto que contém o zero e, se você somar ou multiplicar por escalar vetores de dentro dele, permanece dentro dele. Se qualquer uma dessas propriedades falhar já basta para concluir que não é subespaço.

Passo 3

Verificação do vetor nulo:
  • Verificar (0,0,0)\in W:
    • Para (0,0,0) tem x+y=0+0=0, satisfeito.
    • E y=0 e |z|=|0|=0, portanto y=|z| também é satisfeito.
  • Conclusão: W contém o vetor nulo, ou seja, a propriedade (1) está OK.

Passo 4

Observação chave sobre a condição y=|z|:
  • Como y=|z|, sempre vale y\ge 0 para todo (x,y,z)\in W. Então todas as segundas coordenadas dos vetores de W são não-negativas.
  • Isso já dá uma pista: multiplicar por um escalar negativo pode tornar a segunda coordenada negativa, e então o vetor resultante não pode satisfazer y=|z| (porque o lado esquerdo seria negativo e o lado direito não-negativo), salvo o caso trivial y=0.

Passo 5

Contraexemplo para fechamento por multiplicação escalar (prova de falha):
  • Tome o vetor v = (-1,\,1,\,1).Verificar que v\in W:
    • x+y = -1+1 = 0, OK.
    • y = 1 e |z| = |1| = 1, logo y=|z|, OK.
  • Multiplique por \alpha=-1: -v = (1,\,-1,\,-1).Verificar se -v\in W:
    • x+y = 1+(-1) = 0 ainda satisfaz a primeira equação.
    • Porém agora y=-1 e |z| = |-1| = 1. Assim y\neq |z| porque -1 \neq 1.
  • Conclusão: -v\notin W. Portanto W não é fechado sob multiplicação por escalares (propriedade (3) falha). Logo W não é subespaço.

Passo 6

(Caso queira ver também a soma falhar) Contraexemplo para fechamento por soma:
  • Considere v_1 = (-1,\,1,\,1),\qquad v_2 = (-1,\,1,\,-1).Ambos estão em W (verificações: para cada um x+y=0 e y=|z|=1).
  • A soma é v_1+v_2 = (-2,\,2,\,0).Verificar v_1+v_2\in W? Tem y=2 e |z|=|0|=0, logo y\neq |z|. Então a soma não pertence a W.
  • Isso confirma também que W não é fechado na adição.

Resposta

Falso

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