Seja I um intervalo de \mathbb{R} e indiquemos por F o conjunto das funções contínuas definidas no intervalo I e tomando valores reais. Dados f, g \in F e \alpha \in \mathbb{R}, definem-se f+g e \alpha \cdot f do seguinte modo:
\begin{array}{rlrl} f+g & : & I & \longrightarrow \mathbb{R} \\\ & (f+g)(t) & \mapsto f(t)+g(t) \\\ \alpha \cdot f & : & I & \longrightarrow \mathbb{R} \\\ & (\alpha \cdot f)(t) & \mapsto & \alpha \cdot f(t) \end{array}
Nessas condições prove que F com essas operações é um espaço vetorial.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dado um intervalo I \subset \mathbb{R}.
  • Foi dado F, o conjunto das funções contínuas f\colon I \to \mathbb{R}.
  • Para f,g\in F e \alpha\in\mathbb{R} definem-se as operações ponto a ponto: (f+g)(t)=f(t)+g(t),\qquad (\alpha\cdot f)(t)=\alpha\cdot f(t),para todo t\in I.
  • O enunciado pede para provar que F com essas operações é um espaço vetorial (sobre \mathbb{R}).

Passo 2

O que preciso provar (lista das propriedades de espaço vetorial).
Para mostrar que F é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} devo verificar, para quaisquer f,g,h\in F e quaisquer \alpha,\beta\in\mathbb{R}, as propriedades usuais:
  1. Fechamento em relação à adição: f+g\in F.
  2. Comutatividade da adição: f+g=g+f.
  3. Associatividade da adição: (f+g)+h=f+(g+h).
  4. Existência do elemento neutro aditivo (função zero): existe 0_F\in F tal que f+0_F=f.
  5. Existência de inverso aditivo: para cada f existe -f\in F com f+(-f)=0_F.
  6. Fechamento em relação à multiplicação por escalar: \alpha f\in F.
  7. Distributividade do escalar sobre soma de vetores: \alpha(f+g)=\alpha f+\alpha g.
  8. Distributividade da soma de escalares: (\alpha+\beta)f=\alpha f+\beta f.
  9. Compatibilidade da multiplicação de escalares: (\alpha\beta)f=\alpha(\beta f).
  10. Existência do escalar identidade: 1\cdot f=f.
Vou provar cada item. Sempre usarei que duas funções são iguais quando seus valores coincidem para todo t\in I, e usarei que soma de contínuas e produto por escalar de contínua são contínuas (vou demonstrar isso de forma elementar).

Passo 3

Fechamento da adição: se f,g\in F então f+g\in F.
Queremos mostrar que f+g é contínua em todo t_0\in I. Como f e g são contínuas em t_0, para qualquer \varepsilon>0 existem \delta_1>0 e \delta_2>0 tais que
|t-t_0|<\delta_1 \Rightarrow |f(t)-f(t_0)|<\frac{\varepsilon}{2},
|t-t_0|<\delta_2 \Rightarrow |g(t)-g(t_0)|<\frac{\varepsilon}{2}.
Tomando \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}, para |t-t_0|<\delta temos
|(f+g)(t)-(f+g)(t_0)| = |f(t)-f(t_0)+g(t)-g(t_0)| \le |f(t)-f(t_0)|+|g(t)-g(t_0)| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
Isso prova que f+g é contínua em t_0. Como t_0 era arbitrário, f+g é contínua em I. Logo f+g\in F.

Passo 4

Fechamento da multiplicação por escalar: se f\in F e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha f\in F.
Se f é contínua em t_0, para qualquer \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que |t-t_0|<\delta implica |f(t)-f(t_0)|<\varepsilon/|\alpha| quando \alpha\neq 0. Então
|(\alpha f)(t)-(\alpha f)(t_0)| = |\alpha||f(t)-f(t_0)| < |\alpha|\cdot\frac{\varepsilon}{|\alpha|}=\varepsilon.
No caso \alpha=0 a função \alpha f é a função zero (constante) e é contínua. Assim \alpha f é contínua em t_0, e como t_0 foi arbitrário, \alpha f\in F.

Passo 5

Comutatividade e associatividade da adição (propriedades algébricas ponto a ponto).
Para todo t\in I vale
(f+g)(t)=f(t)+g(t)=g(t)+f(t)=(g+f)(t),
portanto f+g=g+f como funções. Para a associatividade, para todo t\in I,
((f+g)+h)(t)=(f+g)(t)+h(t)=\bigl(f(t)+g(t)\bigr)+h(t),
(f+(g+h))(t)=f(t)+(g+h)(t)=f(t)+\bigl(g(t)+h(t)\bigr).
Como a soma de números reais é associativa, \bigl(f(t)+g(t)\bigr)+h(t)=f(t)+\bigl(g(t)+h(t)\bigr) para todo t, logo (f+g)+h=f+(g+h).

Passo 6

Existência do elemento neutro aditivo (função zero).
Defina 0_F\colon I\to\mathbb{R} por 0_F(t)=0 para todo t\in I. A função constante zero é contínua, logo 0_F\in F. Para todo f\in F e todo t\in I,
(f+0_F)(t)=f(t)+0= f(t),
portanto f+0_F=f. Assim 0_F é o neutro aditivo.

Passo 7

Existência de inverso aditivo.
Para f\in F defina (-f)\colon I\to\mathbb{R} por (-f)(t)=-f(t). Como (-1)f é contínua (produto por escalar -1), temos -f\in F. Além disso, para todo t\in I,
(f+(-f))(t)=f(t)+(-f)(t)=f(t)-f(t)=0=0_F(t),
logo f+(-f)=0_F. Portanto -f é o inverso aditivo de f.

Passo 8

Distributividade do escalar sobre soma de vetores: \alpha(f+g)=\alpha f+\alpha g.
Para todo t\in I,
(\alpha(f+g))(t)=\alpha\cdot (f+g)(t)=\alpha\cdot\bigl(f(t)+g(t)\bigr)=\alpha f(t)+\alpha g(t)=(\alpha f+\alpha g)(t).
Como as duas funções coincidem ponto a ponto, \alpha(f+g)=\alpha f+\alpha g.

Passo 9

Distributividade da soma de escalares: (\alpha+\beta)f=\alpha f+\beta f.
Para todo t\in I,
((\alpha+\beta)f)(t)=(\alpha+\beta)f(t)=\alpha f(t)+\beta f(t)=(\alpha f+\beta f)(t).
Portanto (\alpha+\beta)f=\alpha f+\beta f.

Passo 10

Compatibilidade da multiplicação de escalares: (\alpha\beta)f=\alpha(\beta f).
Para todo t\in I,
((\alpha\beta)f)(t)=(\alpha\beta)f(t)=\alpha\bigl(\beta f(t)\bigr)=(\alpha(\beta f))(t).
Logo (\alpha\beta)f=\alpha(\beta f).

Passo 11

Existência do escalar identidade: 1\cdot f=f.
Para todo t\in I,
(1\cdot f)(t)=1\cdot f(t)=f(t),
portanto 1\cdot f=f.

Passo 12

Conclusão — todas as propriedades verificadas.
Provei fechamento das operações (a soma e a multiplicação por escalar preservam continuidade) e verifiquei todas as propriedades algébricas exigidas para um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Assim F com as operações definidas é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

O conjunto F com as operações definidas é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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