Seja
um intervalo de
e indiquemos por
o conjunto das funções contínuas definidas no intervalo
e tomando valores reais. Dados
e
, definem-se
e
do seguinte modo:
Nessas condições prove que
com essas operações é um espaço vetorial.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Foi dado um intervalo
. - Foi dado
, o conjunto das funções contínuas . - Para
e definem-se as operações ponto a ponto: para todo . - O enunciado pede para provar que
com essas operações é um espaço vetorial (sobre ).
Passo 2
O que preciso provar (lista das propriedades de espaço vetorial).
Para mostrar que
é um espaço vetorial sobre
devo verificar, para quaisquer
e quaisquer
, as propriedades usuais:
- Fechamento em relação à adição:
. - Comutatividade da adição:
. - Associatividade da adição:
. - Existência do elemento neutro aditivo (função zero): existe
tal que . - Existência de inverso aditivo: para cada
existe com . - Fechamento em relação à multiplicação por escalar:
. - Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
. - Distributividade da soma de escalares:
. - Compatibilidade da multiplicação de escalares:
. - Existência do escalar identidade:
.
Vou provar cada item. Sempre usarei que duas funções são iguais quando seus valores coincidem para todo
, e usarei que soma de contínuas e produto por escalar de contínua são contínuas (vou demonstrar isso de forma elementar).
Passo 3
Fechamento da adição: se
então
.
Queremos mostrar que
é contínua em todo
. Como
e
são contínuas em
, para qualquer
existem
e
tais que
Tomando
, para
temos
Isso prova que
é contínua em
. Como
era arbitrário,
é contínua em
. Logo
.
Passo 4
Fechamento da multiplicação por escalar: se
e
então
.
Se
é contínua em
, para qualquer
existe
tal que
implica
quando
. Então
No caso
a função
é a função zero (constante) e é contínua. Assim
é contínua em
, e como
foi arbitrário,
.
Passo 5
Comutatividade e associatividade da adição (propriedades algébricas ponto a ponto).
Para todo
vale
portanto
como funções. Para a associatividade, para todo
,
Como a soma de números reais é associativa,
para todo
, logo
.
Passo 6
Existência do elemento neutro aditivo (função zero).
Defina
por
para todo
. A função constante zero é contínua, logo
. Para todo
e todo
,
portanto
. Assim
é o neutro aditivo.
Passo 7
Existência de inverso aditivo.
Para
defina
por
. Como
é contínua (produto por escalar
), temos
. Além disso, para todo
,
logo
. Portanto
é o inverso aditivo de
.
Passo 8
Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
.
Para todo
,
Como as duas funções coincidem ponto a ponto,
.
Passo 9
Distributividade da soma de escalares:
.
Para todo
,
Portanto
.
Passo 10
Compatibilidade da multiplicação de escalares:
.
Para todo
,
Logo
.
Passo 11
Existência do escalar identidade:
.
Para todo
,
portanto
.
Passo 12
Conclusão — todas as propriedades verificadas.
Provei fechamento das operações (a soma e a multiplicação por escalar preservam continuidade) e verifiquei todas as propriedades algébricas exigidas para um espaço vetorial sobre
. Assim
com as operações definidas é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
O conjunto
com as operações definidas é um espaço vetorial sobre
.