Mostre que
não é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para mostrar que
não é um subespaço vetorial de
. Informações relevantes fornecidas:
-
é o espaço de todas as matrizes . -
é o subconjunto de formado por matrizes com determinante zero (matrizes singulares).
A tarefa é provar quenão satisfaz as propriedades necessárias para ser subespaço.
Passo 2
Lembrete sobre o que significa ser subespaço vetorial: um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se:
-
é não vazio (equivalente a , onde é a matriz zero). -
é fechado sob adição: para todo vale . -
é fechado sob multiplicação por escalar: para todo escalar e todo , .
Basta encontrar uma dessas propriedades que falhe para concluir quenão é subespaço. Aqui vamos tentar mostrar que a propriedade de fechamento sob adição falha, fornecendo um contraexemplo.
Passo 3
Escolhemos duas matrizes singulares (ou seja, com determinante zero) simples — uma que tem um único 1 no canto superior esquerdo e outra que tem um único 1 no canto inferior direito:
Calculemos os determinantes para verificar que
. Para uma matriz
Aplicando em
e
:
Portanto
e
.]
Passo 4
Somemos as duas matrizes:
onde
é a matriz identidade
. O determinante da identidade é
Logo
.]
Passo 5
Como encontramos
tais que
, isto mostra que
não é fechado sob adição. Pela definição de subespaço vetorial, a falha de fechamento sob adição é suficiente para concluir que
não é um subespaço de
.
Observação didática extra (útil na prova): embora a multiplicação por escalar preserve singularidade no caso
(pois
, então se
então
), a propriedade de fechamento sob adição falha em
, e por isso
não é subespaço.