Mostre que W=\left\{A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in M(2,2): \operatorname{det} A=0\right\} não é um subespaço vetorial de M(2,2).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=\left\{A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]\in M(2,2)\mid \det A=0\right\}
e pede para mostrar que W não é um subespaço vetorial de M(2,2). Informações relevantes fornecidas:
  • M(2,2) é o espaço de todas as matrizes 2\times2.
  • W é o subconjunto de M(2,2) formado por matrizes com determinante zero (matrizes singulares).
    A tarefa é provar que W não satisfaz as propriedades necessárias para ser subespaço.

Passo 2

Lembrete sobre o que significa ser subespaço vetorial: um subconjunto S\subseteq M(2,2) é subespaço vetorial se e somente se:
  1. S é não vazio (equivalente a 0\in S, onde 0 é a matriz zero).
  2. S é fechado sob adição: para todo X,Y\in S vale X+Y\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar: para todo escalar k e todo X\in S, kX\in S.
    Basta encontrar uma dessas propriedades que falhe para concluir que W não é subespaço. Aqui vamos tentar mostrar que a propriedade de fechamento sob adição falha, fornecendo um contraexemplo.

Passo 3

Escolhemos duas matrizes singulares (ou seja, com determinante zero) simples — uma que tem um único 1 no canto superior esquerdo e outra que tem um único 1 no canto inferior direito:
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right], \qquad B=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right].
Calculemos os determinantes para verificar que A,B\in W. Para uma matriz 2\times2
\det\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]=ad-bc.
Aplicando em A e B:
\det A = 1\cdot 0 - 0\cdot 0 = 0, \qquad \det B = 0\cdot 1 - 0\cdot 0 = 0.
Portanto A\in W e B\in W.]

Passo 4

Somemos as duas matrizes:
A+B=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right]=I,
onde I é a matriz identidade 2\times2. O determinante da identidade é
\det I = 1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1 \neq 0.
Logo A+B=I\notin W.]

Passo 5

Como encontramos A,B\in W tais que A+B\notin W, isto mostra que W não é fechado sob adição. Pela definição de subespaço vetorial, a falha de fechamento sob adição é suficiente para concluir que W não é um subespaço de M(2,2).
Observação didática extra (útil na prova): embora a multiplicação por escalar preserve singularidade no caso 2\times2 (pois \det(kA)=k^{2}\det A, então se \det A=0 então \det(kA)=0), a propriedade de fechamento sob adição falha em W, e por isso W não é subespaço.

Resposta

W não é um subespaço vetorial de M(2,2).

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