Determine o jacobiano da transformação.
x=e^-r sin theta, y=r^r cos theta.

Passo 1

O enunciado define a transformação de coordenadas
x = e^-rsintheta, y = r^rcostheta
e pede o jacobiano, que é o determinante da matriz de derivadas parciais
J = detpartial(x,y)partial(r,theta) =det partial xpartial r & partial xpartial theta[1em] partial ypartial r & partial ypartial theta ]

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de x=e^-rsintheta. Como ddre^-r=-e^-r e theta é constante em partial x/partial r, temos
partial xpartial r =-e^-rsintheta,
e como r é constante em partial x/partialtheta, usamos ddthetasintheta=costheta, obtendo
partial xpartialtheta =e^-rcostheta

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de y=r^rcostheta. Primeiro note que
ddrr^r =ddre^rln r =e^rln r(ln r +1) =r^r(ln r+1)
Assim, com costheta constante em partial y/partial r,
partial ypartial r =r^r(ln r+1)costheta,
e com r constante em partial y/partialtheta e ddthetacostheta=-sintheta,
partial ypartialtheta =-r^rsintheta

Passo 4

Montamos o jacobiano como
J = -,e^-rsintheta & e^-rcostheta[0.5em] r^r(ln r+1)costheta & -,r^rsintheta =(-e^-rsintheta)(-r^rsintheta) -l(e^-rcosthetar)l(r^r(ln r+1)costhetar)
Então
J =e^-rr^rsin^2theta -e^-rr^r(ln r+1)cos^2theta =e^-rr^rl(sin^2theta-(ln r+1)cos^2thetar) ]

Resposta

J = e^-rr^rl(sin^2theta - (ln r + 1)cos^2thetar)

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