Determine alpha para que as circunferências x^2+y^2=1 e (x-a)^2+y^2=1 se interceptem ortogonalmente.

Passo 1

Temos duas circunferências no plano:
C1colon x^2+y^2=1 e
C2colon (x-alpha)^2+y^2=1.
O conteúdo aqui é geometria de círculos e a condição de interseção ortogonal: duas circunferências se cortam ortogonalmente se, no ponto de interseção, seus raios são perpendiculares, o que se traduz na relação
distância entre centros^2 = r1^2 + r2^2 â

Passo 2

Identificamos centro e raio de cada circunferência:
Para C1, o centro é
(0,0) e o raio é r1 = 1.
Para C2, o centro é
(alpha,0) e o raio é r2 = 1.

Passo 3

A distância d entre os centros (0,0) e (alpha,0) vale
d = lvert alpha - 0rvert = lvert alpharvert,
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d^2 = alpha^2

Passo 4

Aplicando a condição de ortogonalidade,
d^2 = r1^2 + r2^2 Longrightarrow alpha^2 = 1^2 + 1^2 = 2
Dessa equação segue que
alpha = pmraiz2

Resposta

alpha = raiz2 ou alpha = -raiz2.

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