Dê exemplos de funções phi que satisfazem a condição phi^prime(phi(x))=(phi(phi(x)))^prime, para todo x no domínio de phi.

Passo 1

O enunciado pede exemplos de funções phi tais que, para todo x no domínio,
phi'(phi(x)) ;=; l(phi(phi(x))r)',
O conteúdo envolvido é derivada de função composta, usando a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia à função composta phi(phi(x)), temos
l(phi(phi(x))r)' ;=; phi'(phi(x)),phi'(x)

Passo 3

Igualando à condição do enunciado surge
phi'(phi(x)) ;=; phi'(phi(x)),phi'(x) Longrightarrow phi'(phi(x))l(1 - phi'(x)r)=0
para todo x.

Passo 4

Dessa igualdade decorrem duas situações que valem para todo x:
– ou phi'(phi(x))=0 em toda a imagem de phi,
– ou phi'(x)=1 em todo o domínio.

Passo 5

Se phi'(x)=1 para todo x, então
phi(x)=x + b,
onde b é constante.

Passo 6

Se phi'(phi(x))=0 para todo x, basta escolher uma função cuja derivada anule-se sobre sua imagem. O exemplo mais direto é escolher phi constante, isto é
phi(x)=C,
com C constante, pois daí phi'(x)=0 e phi(phi(x))=C, e ambas as derivadas são zero.

Resposta

Exemplos de phi que satisfazem phi'(phi(x))=(phi(phi(x)))':
phi(x)=C, com C constante.
phi(x)=x + b, com b constante.

Exercícios relacionados