Determine o jacobiano das transformações abaixo.
x=cosh u cos v, y=sinh u sin v

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação
x = cosh u ,cos v, y = sinh u ,sin v
e pede o jacobiano
J = partial(x,y)partial(u,v)
Para resolver, usamos a definição de jacobiano como o determinante da matriz das derivadas parciais de x,y em relação a u,v.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u e v:
partial xpartial u = sinh u ,cos v, partial xpartial v = -cosh u ,sin v,
partial ypartial u = cosh u ,sin v, partial ypartial v = sinh u ,cos v

Passo 3

Montamos o determinante
J = det partial xpartial u & partial xpartial v[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v = det sinh u cos v & -cosh u sin v[4pt] cosh u sin v & sinh u cos v
e calculamos
J = (sinh u cos v)^2 - l(-cosh u sin vr)l(cosh u sin vr) = sinh^2 u , cos^2 v + cosh^2 u , sin^2 v ]

Passo 4

Para simplificar, usamos a identidade cosh^2u-sinh^2u=1:
sinh^2 u,cos^2 v + cosh^2 u,sin^2 v = cosh^2 u,(sin^2 v+cos^2 v) - cos^2 v = cosh^2 u - cos^2 v

Resposta

O jacobiano da transformação é
J = cosh^2 u ;-;cos^2 v

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