Determine o jacobiano das transformações abaixo.
x=p e^{q} e y=q e^{p}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a transformação de variáveis (p,q) em (x,y) dada por
x = p\,e^q,\quad y = q\,e^p.
O objetivo é calcular o jacobiano dessa transformação, isto é
J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(p,q)}.

Passo 2

O jacobiano é definido como o determinante da matriz de derivadas parciais:
J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial p} & \frac{\partial x}{\partial q} \\\ \frac{\partial y}{\partial p} & \frac{\partial y}{\partial q} \end{vmatrix}.
Vamos calcular cada derivada:
\frac{\partial x}{\partial p} = e^q,\quad \frac{\partial x}{\partial q} = p\,e^q,
\frac{\partial y}{\partial p} = q\,e^p,\quad \frac{\partial y}{\partial q} = e^p.

Passo 3

Substituindo essas expressões no determinante e simplificando, temos
J = e^q\cdot e^p \;-\;(p\,e^q)\,(q\,e^p) = e^{p+q} \;-\; pq\,e^{p+q} = e^{p+q}\,(1 - pq).

Resposta

O jacobiano da transformação é
e^{p+q}\,(1 - p\,q).

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