Determine o jacobiano das transformações abaixo.
x=u+v w, y=v+w u e z=w+u v

Passo 1

O enunciado define a transformação de (u,v,w) em (x,y,z) por
x = u + v\,w,\quad y = v + w\,u,\quad z = w + u\,v.
O que precisamos é o determinante da matriz jacobiana
J = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}.

Passo 2

Calculamos cada derivada parcial para montar a matriz:
\frac{\partial x}{\partial u} = 1,\; \frac{\partial x}{\partial v} = w,\; \frac{\partial x}{\partial w} = v,
\frac{\partial y}{\partial u} = w,\; \frac{\partial y}{\partial v} = 1,\; \frac{\partial y}{\partial w} = u,
\frac{\partial z}{\partial u} = v,\; \frac{\partial z}{\partial v} = u,\; \frac{\partial z}{\partial w} = 1.
Portanto,
J = \begin{pmatrix} 1 & w & v \\[6pt] w & 1 & u \\[6pt] v & u & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Usamos a fórmula do determinante de matriz 3\times3:
\det J =1\cdot(1\cdot1 - u\cdot u) - w\cdot(w\cdot1 - u\cdot v) + v\cdot(w\cdot u - v\cdot1).
Isso dá
\det J =1\,(1 - u^2) - w\,(w - uv) + v\,(wu - v).

Passo 4

Agora simplificamos:
\det J =1 - u^2 - w^2 + uvw + uvw - v^2 =1 - (u^2+v^2+w^2) + 2\,u\,v\,w.

Resposta

\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} =1 - u^2 - v^2 - w^2 + 2\,u\,v\,w.

Exercícios relacionados