Determine
para que o raio seja 5 :
Passo 1
O enunciado nos dá a equação da circunferência
e pede: determinar
para que o raio seja
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficientes dos termos quadráticos:
para e para . - Termos lineares:
e . - Constante desconhecida:
. - Pedido: raio
.
Passo 2
Lembrete rápido da forma padrão de uma circunferência e o que cada coisa significa.
A forma padrão (canônica) de uma circunferência com centro em
e raio
é
onde:
-
é a coordenada do centro, -
é a coordenada do centro, -
é o raio (sempre ).
Para transformar uma equação geral do tipo
nessa forma, usa-se completar o quadrado nos termos de
e de
.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para os termos em
. Tomamos os termos envolvendo
:
Para completar o quadrado, escrevemos
Explicando: ao desenvolver
obtemos
, então subtraímos
para manter equivalência.
Passo 4
Agora completar o quadrado para os termos em
. Tomamos
Escrevemos
Explicando:
, então subtraímos
.
Passo 5
Substituindo as somas completadas na equação original:
Agrupando os termos constantes:
Isolando os quadrados no lado esquerdo:
Portanto a equação já está na forma
com:
- centro
, - e raio ao quadrado
.
Passo 6
Queremos que o raio seja
. Então
. Igualando:
Resolvendo para
:
Passo 7
Verificação rápida: com
a equação fica
que pela completamento de quadrado é
de fato com raio
. Como
, está tudo consistente.