Determine k para que o raio seja 5 :
x^{2}+y^{2}-6 x+8 y+k=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da circunferência
x^{2}+y^{2}-6x+8y+k=0
e pede: determinar k para que o raio seja 5.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficientes dos termos quadráticos: 1 para x^{2} e 1 para y^{2}.
  • Termos lineares: -6x e +8y.
  • Constante desconhecida: k.
  • Pedido: raio r=5.

Passo 2

Lembrete rápido da forma padrão de uma circunferência e o que cada coisa significa.
A forma padrão (canônica) de uma circunferência com centro em (a,b) e raio r é
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},
onde:
  • a é a coordenada x do centro,
  • b é a coordenada y do centro,
  • r é o raio (sempre r\ge0).
Para transformar uma equação geral do tipo x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0 nessa forma, usa-se completar o quadrado nos termos de x e de y.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para os termos em x. Tomamos os termos envolvendo x:
x^{2}-6x.
Para completar o quadrado, escrevemos
x^{2}-6x=(x-3)^{2}-3^{2}=(x-3)^{2}-9.
Explicando: ao desenvolver (x-3)^{2} obtemos x^{2}-6x+9, então subtraímos 9 para manter equivalência.

Passo 4

Agora completar o quadrado para os termos em y. Tomamos
y^{2}+8y.
Escrevemos
y^{2}+8y=(y+4)^{2}-4^{2}=(y+4)^{2}-16.
Explicando: (y+4)^{2}=y^{2}+8y+16, então subtraímos 16.

Passo 5

Substituindo as somas completadas na equação original:
(x-3)^{2}-9+(y+4)^{2}-16+k=0.
Agrupando os termos constantes:
(x-3)^{2}+(y+4)^{2}+(k-25)=0.
Isolando os quadrados no lado esquerdo:
(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25-k.
Portanto a equação já está na forma (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} com:
  • centro (a,b)=(3,-4),
  • e raio ao quadrado r^{2}=25-k.

Passo 6

Queremos que o raio seja 5. Então r^{2}=5^{2}=25. Igualando:
25-k=25.
Resolvendo para k:
-k=25-25=0\quad\Rightarrow\quad k=0.

Passo 7

Verificação rápida: com k=0 a equação fica
x^{2}+y^{2}-6x+8y=0,
que pela completamento de quadrado é
(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25,
de fato com raio r=\sqrt{25}=5. Como r^{2}=25>0, está tudo consistente.

Resposta

k=0

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