Coloque na forma reduzida:
x^{2}+y^{2}-6 x+4 y=3

Passo 1

O enunciado pede: “Coloque na forma reduzida” a equação
x^{2}+y^{2}-6 x+4 y=3.
Informações dadas:
  • A equação é polinomial em x e y com termos quadráticos e lineares.
  • Não há termo misto xy.
  • O objetivo é escrever a equação na forma reduzida (forma canônica) — ou seja, escrever como soma de quadrados perfeitos igual a uma constante, do tipo de uma circunferência:
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}.

Passo 2

Ideia e ferramenta: completar o quadrado. Vou explicar a técnica de forma bem prática.
Fórmula básica: para qualquer número b,
x^{2}+b x=\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}.
O que isso significa: ao expandir \left(x+\dfrac{b}{2}\right)^{2} obtém-se x^{2}+b x+\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}. Portanto, para recuperar x^{2}+b x basta subtrair \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}. Mesma ideia vale para a variável y.
Vou aplicar essa fórmula aos termos em x e em y da equação.

Passo 3

Completar o quadrado no termo em x.
Os termos em x na equação são
x^{2}-6x.
Aqui b=-6. Pela fórmula,
x^{2}-6x=\left(x+\frac{-6}{2}\right)^{2}-\left(\frac{-6}{2}\right)^{2}=\left(x-3\right)^{2}-9.
Explicando: \left(x-3\right)^{2}=x^{2}-6x+9, então para ter só x^{2}-6x subtraímos 9.

Passo 4

Completar o quadrado no termo em y.
Os termos em y são
y^{2}+4y.
Aqui b=4. Pela fórmula,
y^{2}+4y=\left(y+\frac{4}{2}\right)^{2}-\left(\frac{4}{2}\right)^{2}=\left(y+2\right)^{2}-4.
Explicando: \left(y+2\right)^{2}=y^{2}+4y+4, então subtraímos 4 para recuperar y^{2}+4y.

Passo 5

Substituir as identidades obtidas de volta na equação original e simplificar passo a passo.
Substituindo:
\left(x-3\right)^{2}-9+\left(y+2\right)^{2}-4=3.
Somar os termos constantes no lado esquerdo:
-9-4=-13,
portanto
\left(x-3\right)^{2}+\left(y+2\right)^{2}-13=3.
Agora isolo os quadrados somando 13 em ambos os lados:
\left(x-3\right)^{2}+\left(y+2\right)^{2}=3+13=16.

Passo 6

Interpretação final (o que aprendemos e como usar na prova).
A equação ficou na forma canônica de uma circunferência:
\left(x-3\right)^{2}+\left(y+2\right)^{2}=16.
Isto significa que a circunferência tem centro \,(3,-2)\, e raio \,4 (porque r^{2}=16\Rightarrow r=4).
Dica para a prova: sempre identifique os coeficientes lineares b_x e b_y e aplique a fórmula de completar quadrado rápida:
x^{2}+b_x x=\bigl(x+\tfrac{b_x}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{b_x}{2}\bigr)^{2}, \qquad y^{2}+b_y y=\bigl(y+\tfrac{b_y}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{b_y}{2}\bigr)^{2}.
Isso economiza tempo e erros.

Resposta

\left(x-3\right)^{2}+\left(y+2\right)^{2}=16

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