Coloque na forma reduzida:
x^{2}+y^{2}+2 x-8 y=15

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^{2}+y^{2}+2 x-8 y=15
e pede para colocá-la na forma reduzida, ou seja, na forma centro-raio
(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}.
Informações dadas:
  • A equação geral do círculo é \;x^{2}+y^{2}+2x-8y=15\;.
  • O objetivo é escrever essa equação como soma de quadrados perfeitos igual a um número (achar x_{0},y_{0},r).

Passo 2

Agrupo os termos em x e em y para facilitar completar o quadrado:
x^{2}+2x \;+\; y^{2}-8y \;=\; 15.

Passo 3

Lembrete prático sobre completar o quadrado (mini-aula): para uma expressão da forma \;x^{2}+b x\; basta acrescentar \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2} para formar um quadrado perfeito:
x^{2}+b x+\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}=\left(x+\dfrac{b}{2}\right)^{2}.
Aqui, para os termos em x temos b=2. Então
\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}=\left(\dfrac{2}{2}\right)^{2}=1.
Adiciono esse 1 ao lado esquerdo; para manter a igualdade, o mesmo 1 deve ser adicionado ao lado direito. Escrevo:
x^{2}+2x+1 \;+\; y^{2}-8y \;=\; 15+1.

Passo 4

Faço o mesmo para os termos em y. Aqui b=-8, então
\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}=\left(\dfrac{-8}{2}\right)^{2}=(-4)^{2}=16.
Adiciono 16 aos dois lados da equação:
x^{2}+2x+1 \;+\; y^{2}-8y+16 \;=\; 15+1+16.

Passo 5

Agora os termos somados formam quadrados perfeitos. Escrevo-os como tais:
(x+1)^{2} + (y-4)^{2} = 15+1+16.
Calculo o lado direito:
15+1+16 = 32.
Portanto a forma reduzida é
(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=32.

Passo 6

Interpretação final (como usar isso na prova): a equação representada tem centro (-1,4) e raio r dado por
r=\sqrt{32} = 4\sqrt{2}.
Verificação rápida (opcional): expandindo (x+1)^{2}+(y-4)^{2} volta-se à equação inicial:
(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=x^{2}+2x+1 + y^{2}-8y+16 = x^{2}+y^{2}+2x-8y+17,
e igualando a 32 obtemos x^{2}+y^{2}+2x-8y=15, como o enunciado — logo está correto.

Resposta

(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=32

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