Determine k para que os vetores (1, k, 2),(2,1, k) e (k, 2,1) sejam coplanares.

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede para determinar k tal que eles sejam coplanares. Dados:
  • Vetor v_1 = (1,k,2).
  • Vetor v_2 = (2,1,k).
  • Vetor v_3 = (k,2,1).
Pergunta do problema: determinar os valores de k (reais ou complexos) para os quais os três vetores acima são coplanares.

Passo 2

O que significa “vetores coplanares” e como verificar isso (sem pular etapas).
  • Três vetores em \mathbb{R}^3 (ou em \mathbb{C}^3) são coplanares quando pertencem a um mesmo plano, isto é, quando um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.
  • Uma forma prática e direta de testar coplanaridade é usar o produto misto (também chamado de produto escalar triplo): três vetores a,b,c são coplanares se, e somente se, o produto misto a\cdot(b\times c) for igual a zero.
  • O produto misto a\cdot(b\times c) é numericamente igual ao determinante da matriz que tem a,b,c como linhas (ou colunas). Assim, a condição de coplanaridade se traduz em:
\det\begin{pmatrix} 1 & k & 2\\[4pt] 2 & 1 & k\\[4pt] k & 2 & 1 \end{pmatrix}=0.
Aqui cada entrada é numérica (dependendo de k), então basta calcular esse determinante e resolver a equação para k.]

Passo 3

Vamos calcular o determinante passo a passo, expandindo pela primeira linha (método de Laplace pela primeira linha). Escrevo explicitamente a expansão:
\det\begin{pmatrix} 1 & k & 2\\[4pt] 2 & 1 & k\\[4pt] k & 2 & 1 \end{pmatrix} =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & k\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix} - k\cdot\det\begin{pmatrix}2 & k\\[4pt]k & 1\end{pmatrix} + 2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]k & 2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo cada menor (cada determinante 2\times2) de forma detalhada:
  • Primeiro menor:
\det\begin{pmatrix}1 & k\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - k\cdot2 = 1 - 2k.
  • Segundo menor:
\det\begin{pmatrix}2 & k\\[4pt]k & 1\end{pmatrix} =2\cdot1 - k\cdot k = 2 - k^2.
  • Terceiro menor:
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]k & 2\end{pmatrix} =2\cdot2 - 1\cdot k = 4 - k.
Agora substituo os valores na expansão:
\det = 1\cdot(1-2k) - k\cdot(2-k^2) + 2\cdot(4-k).]

Passo 5

Faço as multiplicações e somas cuidadosamente:
\det = (1-2k) - k(2-k^2) + 8 - 2k.
Desenvolvendo -k(2-k^2) = -2k + k^3, então
\det = 1 - 2k - 2k + k^3 + 8 - 2k.
Agrupando termos semelhantes:
  • Termos constantes: 1 + 8 = 9.
  • Termos em k: -2k -2k -2k = -6k.
  • Termo em k^3: k^3.
    Logo
\det = k^3 - 6k + 9.

Passo 6

Impondo a condição de coplanaridade \det=0, obtemos a equação cúbica
k^3 - 6k + 9 = 0.
Procuro raízes racionais possíveis (teorema das raízes racionais: possíveis divisores de 9: \pm1,\pm3,\pm9). Testo k=-3:
(-3)^3 - 6(-3) + 9 = -27 + 18 + 9 = 0,
logo k=-3 é uma raiz.

Passo 7

Faço a divisão polinomial para fatorar o cúbico por (k+3). Dividindo k^3 +0\cdot k^2 -6k +9 por (k+3) obtém-se o quociente
k^2 - 3k + 3,
ou seja,
k^3 - 6k + 9 = (k+3)\bigl(k^2 - 3k + 3\bigr).
Agora resolvo a quadrática k^2 - 3k + 3 = 0 pela fórmula de Bhaskara:
k = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot1\cdot3}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-3}}{2}.
Ou seja,
k = \frac{3 \pm i\sqrt{3}}{2}.

Passo 8

Interpretação final:
  • As soluções da equação \det=0 são k=-3 e k=\dfrac{3\pm i\sqrt{3}}{2}.
  • Se o problema considerar apenas valores reais de k (caso mais comum), o único valor real que torna os vetores coplanares é k=-3.
Força aí — você já tem o procedimento completo: montar a matriz com os vetores, calcular o determinante (produto misto), igualar a zero e resolver a equação resultante. Na prova faça exatamente esses passos e escreva as contas como aqui.

Resposta

k=-3
k=\dfrac{3\pm i\sqrt{3}}{2}

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