Determine k para que os vetores (1, k, 2),(2,1, k) e (k, 2,1) sejam coplanares.
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede para determinar k tal que eles sejam coplanares. Dados:
Vetor v_1 = (1,k,2).
Vetor v_2 = (2,1,k).
Vetor v_3 = (k,2,1).
Pergunta do problema: determinar os valores de k (reais ou complexos) para os quais os três vetores acima são coplanares.
Passo 2
O que significa “vetores coplanares” e como verificar isso (sem pular etapas).
Três vetores em \mathbb{R}^3 (ou em \mathbb{C}^3) são coplanares quando pertencem a um mesmo plano, isto é, quando um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.
Uma forma prática e direta de testar coplanaridade é usar o produto misto (também chamado de produto escalar triplo): três vetores a,b,c são coplanares se, e somente se, o produto misto a\cdot(b\times c) for igual a zero.
O produto misto a\cdot(b\times c) é numericamente igual ao determinante da matriz que tem a,b,c como linhas (ou colunas). Assim, a condição de coplanaridade se traduz em:
\det\begin{pmatrix} 1 & k & 2\\[4pt] 2 & 1 & k\\[4pt] k & 2 & 1 \end{pmatrix}=0.
Aqui cada entrada é numérica (dependendo de k), então basta calcular esse determinante e resolver a equação para k.]
Passo 3
Vamos calcular o determinante passo a passo, expandindo pela primeira linha (método de Laplace pela primeira linha). Escrevo explicitamente a expansão:
As soluções da equação \det=0 são k=-3 e k=\dfrac{3\pm i\sqrt{3}}{2}.
Se o problema considerar apenas valores reais de k (caso mais comum), o único valor real que torna os vetores coplanares é k=-3.
Força aí — você já tem o procedimento completo: montar a matriz com os vetores, calcular o determinante (produto misto), igualar a zero e resolver a equação resultante. Na prova faça exatamente esses passos e escreva as contas como aqui.