Seja
um vetor unitário. Determine o valor máximo de
.
Passo 1
O enunciado dá que
é um vetor unitário e pede o valor máximo de
.
Informações relevantes:
- A incógnita é o vetor
sujeito à restrição . - O vetor com o qual se faz o produto escalar é
. - A pergunta é: qual é o maior valor possível de
quando varia entre todos os vetores unitários?
Passo 2
Lembra do que é produto escalar e como ele se relaciona com ângulo entre vetores. Duas formas importantes de escrever o produto escalar de vetores em
:
Definição por componentes:
onde
e
.
Forma geométrica (ligada ao ângulo):
onde
é a norma (comprimento) de
,
é a norma de
, e
é o ângulo entre
e
. Nesta fórmula,
varia entre
e
.
Essas duas formas são equivalentes e são as ferramentas que usaremos.
Passo 3
Aplique a forma geométrica ao nosso caso. Seja
. Como
, tem-se
onde
é o ângulo entre
e
.
Como
para todo
, o maior valor possível de
ocorre quando
(ou seja, quando
, isto é,
está apontando exatamente na mesma direção de
). Nessa situação o produto escalar atinge o valor máximo igual a
. A igualdade é possível escolhendo
paralelo a
e com mesma orientação (mesma direção).
Passo 4
Calcule a norma de
:
Um vetor
unitário que alcança esse máximo é o vetor unitário na direção de
, isto é
Verificação rápida do produto escalar com esse
: