Seja \vec{x} um vetor unitário. Determine o valor máximo de \vec{x} \cdot(2,1,2).

Passo 1

O enunciado dá que \vec{x} é um vetor unitário e pede o valor máximo de \vec{x}\cdot(2,1,2).
Informações relevantes:
  • A incógnita é o vetor \vec{x} sujeito à restrição \|\vec{x}\|=1.
  • O vetor com o qual se faz o produto escalar é \vec{v}=(2,1,2).
  • A pergunta é: qual é o maior valor possível de \vec{x}\cdot\vec{v} quando \vec{x} varia entre todos os vetores unitários?

Passo 2

Lembra do que é produto escalar e como ele se relaciona com ângulo entre vetores. Duas formas importantes de escrever o produto escalar de vetores em \mathbb{R}^3:
Definição por componentes:
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3,
onde \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3).
Forma geométrica (ligada ao ângulo):
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\,\cos\theta,
onde \|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} é a norma (comprimento) de \vec{a}, \|\vec{b}\| é a norma de \vec{b}, e \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Nesta fórmula, \cos\theta varia entre -1 e 1.
Essas duas formas são equivalentes e são as ferramentas que usaremos.

Passo 3

Aplique a forma geométrica ao nosso caso. Seja \vec{v}=(2,1,2). Como \|\vec{x}\|=1, tem-se
\vec{x}\cdot\vec{v}=\|\vec{x}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\theta=\|\vec{v}\|\,\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{x} e \vec{v}.
Como \cos\theta \le 1 para todo \theta, o maior valor possível de \vec{x}\cdot\vec{v} ocorre quando \cos\theta=1 (ou seja, quando \theta=0, isto é, \vec{x} está apontando exatamente na mesma direção de \vec{v}). Nessa situação o produto escalar atinge o valor máximo igual a \|\vec{v}\|. A igualdade é possível escolhendo \vec{x} paralelo a \vec{v} e com mesma orientação (mesma direção).

Passo 4

Calcule a norma de \vec{v}=(2,1,2):
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
Um vetor \vec{x} unitário que alcança esse máximo é o vetor unitário na direção de \vec{v}, isto é
\vec{x}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right).
Verificação rápida do produto escalar com esse \vec{x}:
\vec{x}\cdot\vec{v}=\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)\cdot(2,1,2)=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}+\frac{4}{3}=\frac{9}{3}=3.

Resposta

3

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