Sejam \vec{u}=(1, t, 0) e \vec{v}=(0,1, t). Determine o valor de t que minimiza a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,t,0) e \vec{v}=(0,1,t) (com t real) e pede: determinar o valor de t que minimiza a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Vetor \vec{u}=(1,t,0).
  • Vetor \vec{v}=(0,1,t).
  • Variável livre: t\in\mathbb{R}.
  • Pedido: encontrar t que minimiza a área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Uma ideia importante (aqui explico bem devagar): a área A do paralelogramo gerado por dois vetores em \mathbb{R}^3 é o comprimento (norma) do produto vetorial desses vetores. Em fórmulas:
A=\|\vec{u}\times\vec{v}\|.
Explicando: \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a ambos, cujo comprimento é igual à área do paralelogramo. Para evitar lidar com raízes desnecessárias, é comum minimizar A^2=\|\vec{u}\times\vec{v}\|^2 — o valor de t que minimiza A também minimiza A^2, e minimizar A^2 costuma ser mais simples porque evita a raiz quadrada.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Uso a regra do determinante:
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & t & 0 \\\\ 0 & 1 & t \end{vmatrix}.
Calculando coordenada a coordenada:
  • Componente \mathbf{i}: t\cdot t - 0\cdot 1 = t^2.
  • Componente \mathbf{j}: com sinal negativo, 1\cdot t - 0\cdot 0 = t, logo -t.
  • Componente \mathbf{k}: 1\cdot 1 - t\cdot 0 = 1.
Portanto
\vec{u}\times\vec{v} = (t^2,\,-t,\,1).

Passo 4

Agora calculemos a norma ao quadrado desse vetor (que é A^2):
A^2=\|\vec{u}\times\vec{v}\|^2 = (t^2)^2 + (-t)^2 + 1^2 = t^4 + t^2 + 1.
Observação didática: escrever A^2 assim evita a raiz. Nosso objetivo é minimizar a função real
f(t)=t^4+t^2+1.

Passo 5

Para encontrar extremos de f(t) calculamos a derivada f'(t) e achamos onde ela é zero:
f'(t)=4t^3 + 2t = 2t(2t^2+1).
As soluções de f'(t)=0 são:
2t(2t^2+1)=0 \quad\Rightarrow\quad t=0 \quad\text{ou}\quad 2t^2+1=0.
A equação 2t^2+1=0 não tem soluções reais (pois 2t^2+1\ge 1>0). Portanto o único ponto crítico real é
t=0.

Passo 6

Precisamos verificar que t=0 realmente minimiza f. Calculamos a segunda derivada:
f''(t)=12t^2+2.
Note que f''(t)=12t^2+2\ge 2>0 para todo t. Assim f é estritamente convexa e qualquer ponto crítico é um mínimo global. Portanto t=0 é o valor que minimiza f(t), logo minimiza A^2 e também A.

Passo 7

Só para fechar: o valor mínimo de A ocorre em t=0. Se quiser saber a área mínima, basta avaliar A em t=0:
A_{\min}=\sqrt{f(0)}=\sqrt{0^4+0^2+1}=\sqrt{1}=1.

Resposta

t=0

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