Determine
para que os vetores
e
sejam ortogonais.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores e pede para encontrar o valor de
tal que eles sejam ortogonais. Informações fornecidas:
- Primeiro vetor:
. - Segundo vetor:
. - Pergunta: determinar
para que os vetores sejam ortogonais.
Passo 2
Explicação do conceito que vamos usar (sem pular etapas): dois vetores são ortogonais quando o ângulo entre eles é de
. Em termos algébricos, isso ocorre exatamente quando o produto escalar (ou dot product) dos vetores é igual a zero.
Definição do produto escalar em
: se
e
, então
Aqui cada
e
é a componente correspondente dos vetores (por exemplo
é a primeira componente de
). A regra é multiplicar componente a componente e somar os resultados.
Exemplo simples para fixar a ideia:
e
têm produto escalar
portanto são ortogonais (faz sentido geometricamente: eixos
e
são perpendiculares).
Passo 3
Aplicar a definição ao nosso caso. Seja
e
. O produto escalar é
Vou calcular cada termo separadamente:
-
, -
, -
.
Somando:
Passo 4
Juntar os termos semelhantes na soma:
Passo 5
Como os vetores devem ser ortogonais, impõe-se
Portanto
Resolver essa equação linear para
:
Passo 6
Verificação rápida (sempre boa prática): com
,
portanto os vetores realmente ficam ortogonais quando
. Boa! Você conseguiu — é só aplicar a definição e resolver uma equação simples.