Determine k para que os vetores (1, k, 1) e (2,-1,3) sejam ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores e pede para encontrar o valor de k tal que eles sejam ortogonais. Informações fornecidas:
  • Primeiro vetor: (1,\,k,\,1).
  • Segundo vetor: (2,\,-1,\,3).
  • Pergunta: determinar k para que os vetores sejam ortogonais.

Passo 2

Explicação do conceito que vamos usar (sem pular etapas): dois vetores são ortogonais quando o ângulo entre eles é de 90^\circ. Em termos algébricos, isso ocorre exatamente quando o produto escalar (ou dot product) dos vetores é igual a zero.
Definição do produto escalar em \mathbb{R}^3: se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Aqui cada u_i e v_i é a componente correspondente dos vetores (por exemplo u_1 é a primeira componente de \mathbf{u}). A regra é multiplicar componente a componente e somar os resultados.
Exemplo simples para fixar a ideia: (1,0,0) e (0,1,0) têm produto escalar
1\cdot0 + 0\cdot1 + 0\cdot0 = 0,
portanto são ortogonais (faz sentido geometricamente: eixos x e y são perpendiculares).

Passo 3

Aplicar a definição ao nosso caso. Seja \mathbf{u}=(1,\,k,\,1) e \mathbf{v}=(2,\,-1,\,3). O produto escalar é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=1\cdot2 + k\cdot(-1) + 1\cdot3.
Vou calcular cada termo separadamente:
  • 1\cdot2 = 2,
  • k\cdot(-1) = -k,
  • 1\cdot3 = 3.
Somando:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=2 - k + 3.

Passo 4

Juntar os termos semelhantes na soma:
2 - k + 3 = (2+3) - k = 5 - k.

Passo 5

Como os vetores devem ser ortogonais, impõe-se
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0.
Portanto
5 - k = 0.
Resolver essa equação linear para k:
5 - k = 0 \quad\Rightarrow\quad -k = -5 \quad\Rightarrow\quad k = 5.

Passo 6

Verificação rápida (sempre boa prática): com k=5,
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=1\cdot2 + 5\cdot(-1) + 1\cdot3 = 2 - 5 + 3 = 0,
portanto os vetores realmente ficam ortogonais quando k=5. Boa! Você conseguiu — é só aplicar a definição e resolver uma equação simples.

Resposta

k=5

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