Seja
. Determine:
(a) a projeção de
sobre
;
(b) a componente perpendicular de
em relação a
.
(a) a projeção de
(b) a componente perpendicular de
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede duas coisas:
- (a) a projeção de
sobre ; - (b) a componente de
perpendicular a .
Vou usar apenas as informações acima; não foi dada nenhuma outra figura ou dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é produto escalar (dot product) e como ele entra na projeção.
Definição (produto escalar): para dois vetores em
,
e
, o produto escalar é
Propriedade útil:
, onde
é o comprimento (norma) do vetor.
Agora calculemos os produtos escalares necessários com os vetores fornecidos:
Passo 3
Agora a fórmula da projeção de
sobre
.
Explicação didática: se quiser projetar
na direção de
, é prático usar o versor (vetor unitário)
. A componente escalar de
nessa direção é
. A projeção vetorial é esse escalar vezes
:
Substituindo
e simplificando dá a fórmula prática
Aqui
é o numerador que já calculamos e
é o denominador.
Passo 4
Aplicando a fórmula com os valores que já achamos:
Logo
Interpretação curta: isso significa que a componente de
na direção de
é um vetor paralelo a
de magnitude
.
Passo 5
Agora a componente perpendicular (ortogonal) de
em relação a
.
Definição: qualquer vetor
pode ser decomposto como soma de sua projeção em
e da componente ortogonal:
Logo a componente perpendicular é
Substituindo os vetores:
Passo 6
Verificação (para ganhar confiança): a componente perpendicular deve ser ortogonal a
, isto é, o produto escalar entre eles deve ser zero. Vamos conferir:
De fato é zero, portanto
é ortogonal a
— verificação concluída.
Resposta
(a)
(b)
(b)