Seja \vec{v}=(4,2,4). Determine:
(a) a projeção de \vec{v} sobre \vec{u}=(1,0,1);
(b) a componente perpendicular de \vec{v} em relação a \vec{u}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{v}=(4,2,4) e \vec{u}=(1,0,1) e pede duas coisas:
  • (a) a projeção de \vec{v} sobre \vec{u};
  • (b) a componente de \vec{v} perpendicular a \vec{u}.
Vou usar apenas as informações acima; não foi dada nenhuma outra figura ou dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é produto escalar (dot product) e como ele entra na projeção.
Definição (produto escalar): para dois vetores em \mathbb{R}^3, \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Propriedade útil: \vec{a}\cdot\vec{a}=\|\vec{a}\|^2, onde \|\vec{a}\| é o comprimento (norma) do vetor.
Agora calculemos os produtos escalares necessários com os vetores fornecidos:
\vec{v}\cdot\vec{u} = 4\cdot1 + 2\cdot0 + 4\cdot1 = 4 + 0 + 4 = 8.
\vec{u}\cdot\vec{u} = 1\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot1 = 1 + 0 + 1 = 2.

Passo 3

Agora a fórmula da projeção de \vec{v} sobre \vec{u}.
Explicação didática: se quiser projetar \vec{v} na direção de \vec{u}, é prático usar o versor (vetor unitário) \hat{u}=\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}. A componente escalar de \vec{v} nessa direção é \vec{v}\cdot\hat{u}. A projeção vetorial é esse escalar vezes \hat{u}:
\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v})=(\vec{v}\cdot\hat{u})\hat{u}.
Substituindo \hat{u}=\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} e simplificando dá a fórmula prática
\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\,\vec{u}.
Aqui \vec{v}\cdot\vec{u} é o numerador que já calculamos e \vec{u}\cdot\vec{u} é o denominador.

Passo 4

Aplicando a fórmula com os valores que já achamos:
\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}} = \frac{8}{2} = 4.
Logo
\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}) = 4\,\vec{u} = 4\,(1,0,1) = (4,0,4).
Interpretação curta: isso significa que a componente de \vec{v} na direção de \vec{u} é um vetor paralelo a \vec{u} de magnitude 4\|\vec{u}\|.

Passo 5

Agora a componente perpendicular (ortogonal) de \vec{v} em relação a \vec{u}.
Definição: qualquer vetor \vec{v} pode ser decomposto como soma de sua projeção em \vec{u} e da componente ortogonal:
\vec{v} = \text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}) + \vec{v}_\perp.
Logo a componente perpendicular é
\vec{v}_\perp = \vec{v} - \text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}).
Substituindo os vetores:
\vec{v}_\perp = (4,2,4) - (4,0,4) = (4-4,\;2-0,\;4-4) = (0,2,0).

Passo 6

Verificação (para ganhar confiança): a componente perpendicular deve ser ortogonal a \vec{u}, isto é, o produto escalar entre eles deve ser zero. Vamos conferir:
(0,2,0)\cdot(1,0,1)=0\cdot1+2\cdot0+0\cdot1=0.
De fato é zero, portanto (0,2,0) é ortogonal a \vec{u} — verificação concluída.

Resposta

(a) \text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v})=(4,0,4)
(b) \vec{v}_\perp=(0,2,0)

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