Determine um vetor unitário na direção de \vec{w}=(1,2,2).

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{w}=(1,2,2) e pede para determinar um vetor unitário na direção de \vec{w}.
Informações relevantes:
  • As componentes do vetor são \;w_1=1,\;w_2=2,\;w_3=2.
  • O objetivo é encontrar um vetor de comprimento (norma) igual a 1 que aponte na mesma direção de \vec{w}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e amigável).
  • Um vetor unitário é um vetor cuja norma (comprimento) vale 1.
  • Para normalizar um vetor não nulo \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), usa-se a fórmula
\hat{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|},
onde \|\vec{v}\| é a norma de \vec{v}.
  • A norma de um vetor em \mathbb{R}^3 é dada por
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
Explicando cada parte:
  • \vec{v} é o vetor que se quer normalizar;
  • v_1,v_2,v_3 são as componentes do vetor;
  • \|\vec{v}\| é um número (escala) igual ao comprimento do vetor;
  • Dividir \vec{v} por esse número faz com que o novo vetor tenha comprimento 1 e mantenha a mesma direção (apenas muda a escala).

Passo 3

Aplicando a fórmula da norma ao vetor dado \vec{w}=(1,2,2).
Calcular as potências e a soma:
1^2=1,\qquad 2^2=4,\qquad 2^2=4.
Somando:
1+4+4=9.
Portanto a norma é
\|\vec{w}\|=\sqrt{9}=3.

Passo 4

Normalizar o vetor dividindo cada componente pela norma \|\vec{w}\|=3.
Escrevendo o vetor unitário:
\hat{u}=\frac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|}=\frac{1}{3}(1,2,2)=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right).

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
Calcular a norma de \hat{u}:
\|\hat{u}\|=\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2} =\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{9}{9}}=\sqrt{1}=1.
Logo \hat{u} é realmente um vetor unitário.

Resposta

\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right)

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