Determine
nos pontos indicados, nos casos a seguir:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada da função inversa no ponto
. Vou listar exatamente o que está dado e o que se pede:
- Função:
definida no intervalo . - Ponto onde queremos a derivada da inversa:
. - Pedido: calcular
.
Passo 2
Verificar se faz sentido falar em
e em sua derivada nesse ponto (ou seja, checar se
está no contradomínio e se
é invertível por ali).
- Primeiro, avaliar a imagem de
nos extremos do intervalo:
- Assim o conjunto de valores assumidos por
no intervalo é . Como , o ponto pertence ao contradomínio de . - Para garantir que
tenha inversa em todo o intervalo, preciso checar se é monotônica (sem mudanças de sinal da derivada) em . Vou calcular em passos posteriores, mas antecipando: para a derivada não muda de sinal (ver passo 4). Logo é estritamente monotônica e, portanto, injetora, o que garante existência de no intervalo.
Passo 3
Explicar a fórmula que vou usar (teorema da derivada da inversa) e por que ela vale.
- Teorema (derivada da função inversa): se
é diferenciável num ponto , e , então é diferenciável em e vale - Aqui
é o ponto da variável original tal que . Em palavras: a derivada da inversa num ponto é o inverso (recíproco) da derivada de no ponto que corresponde a . - Vou aplicar essa fórmula com
. Portanto preciso (a) encontrar tal que e (b) calcular .
Passo 4
Achar
tal que
.
- Resolver a equação
- Subtraindo 3 dos dois lados obtém-se
- Em geral
quando para algum inteiro . Aqui . Então - Como estamos restringidos ao intervalo
, o único valor dessa sequência que cai no intervalo é . - Conclusão:
, portanto o ponto procurado é .
Passo 5
Calcular
explicitamente (cadeia e derivada da função trigonométrica) e avaliar em
.
- Recordando a regra: a derivada de
em relação a é (regra da cadeia), onde é a derivada de em relação a . - Aqui
. A derivada de é . Para , toma-se , então . Logo - Agora avalio em
: - E
. Portanto - Observação útil:
, o que confirma a hipótese necessária para aplicar o teorema da inversa.
Passo 6
Aplicar a fórmula da derivada da inversa e concluir.
- Pela fórmula do passo 3 com
e , - Substituindo
,