Determine \left(f^{-1}\right)^{\prime}(y) nos pontos indicados, nos casos a seguir:
f(x)=3+\cos 2 x, \quad 0 \leq x \leq \pi / 2 ; \quad y=3.

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a derivada da função inversa no ponto y=3. Vou listar exatamente o que está dado e o que se pede:
  • Função: f(x)=3+\cos(2x) definida no intervalo 0 \leq x \leq \pi/2.
  • Ponto onde queremos a derivada da inversa: y=3.
  • Pedido: calcular \left(f^{-1}\right)^{\prime}(3).

Passo 2

Verificar se faz sentido falar em f^{-1} e em sua derivada nesse ponto (ou seja, checar se y=3 está no contradomínio e se f é invertível por ali).
  • Primeiro, avaliar a imagem de f nos extremos do intervalo: f(0)=3+\cos(0)=3+1=4,
f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=3+\cos\big(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\big)=3+\cos(\pi)=3+(-1)=2.
  • Assim o conjunto de valores assumidos por f no intervalo é [2,4]. Como 3\in[2,4], o ponto y=3 pertence ao contradomínio de f.
  • Para garantir que f tenha inversa em todo o intervalo, preciso checar se f é monotônica (sem mudanças de sinal da derivada) em [0,\pi/2]. Vou calcular f'(x) em passos posteriores, mas antecipando: para x\in(0,\pi/2) a derivada não muda de sinal (ver passo 4). Logo f é estritamente monotônica e, portanto, injetora, o que garante existência de f^{-1} no intervalo.

Passo 3

Explicar a fórmula que vou usar (teorema da derivada da inversa) e por que ela vale.
  • Teorema (derivada da função inversa): se f é diferenciável num ponto x_0, f'(x_0)\neq0 e y_0=f(x_0), então f^{-1} é diferenciável em y_0 e vale \big(f^{-1}\big)^{\prime}(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}.
  • Aqui x_0 é o ponto da variável original x tal que f(x_0)=y_0. Em palavras: a derivada da inversa num ponto y_0 é o inverso (recíproco) da derivada de f no ponto x_0 que corresponde a y_0.
  • Vou aplicar essa fórmula com y_0=3. Portanto preciso (a) encontrar x_0 tal que f(x_0)=3 e (b) calcular f'(x_0).

Passo 4

Achar x_0 tal que f(x_0)=3.
  • Resolver a equação 3+\cos(2x)=3.
  • Subtraindo 3 dos dois lados obtém-se \cos(2x)=0.
  • Em geral \cos(t)=0 quando t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi para algum inteiro k. Aqui t=2x. Então 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}.
  • Como estamos restringidos ao intervalo 0\le x\le \pi/2, o único valor dessa sequência que cai no intervalo é x_0=\tfrac{\pi}{4}.
  • Conclusão: f\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=3, portanto o ponto x_0 procurado é x_0=\tfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Calcular f'(x) explicitamente (cadeia e derivada da função trigonométrica) e avaliar em x_0=\tfrac{\pi}{4}.
  • Recordando a regra: a derivada de \cos(u) em relação a x é -\sin(u)\cdot u' (regra da cadeia), onde u' é a derivada de u em relação a x.
  • Aqui f(x)=3+\cos(2x). A derivada de 3 é 0. Para \cos(2x), toma-se u(x)=2x, então u'(x)=2. Logo f'(x)=0 + \big(-\sin(2x)\big)\cdot 2 = -2\sin(2x).
  • Agora avalio em x_0=\tfrac{\pi}{4}: f'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=-2\sin\!\left(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\right)=-2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right).
  • E \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1. Portanto f'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=-2\cdot 1 = -2.
  • Observação útil: f'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\neq0, o que confirma a hipótese necessária para aplicar o teorema da inversa.

Passo 6

Aplicar a fórmula da derivada da inversa e concluir.
  • Pela fórmula do passo 3 com x_0=\tfrac{\pi}{4} e y_0=3, \big(f^{-1}\big)^{\prime}(3)=\frac{1}{f'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)}.
  • Substituindo f'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=-2, \big(f^{-1}\big)^{\prime}(3)=\frac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2}.

Resposta

\big(f^{-1}\big)^{\prime}(3)=-\tfrac{1}{2}

Exercícios relacionados