Determine \left(f^{-1}\right)^{\prime}(y) nos pontos indicados, nos casos a seguir:
f(x)=x^{2}+4 x-2, \quad x \in[-2,+\infty[; \quad y=10.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dado f(x)=x^{2}+4x-2 com domínio x\in[-2,+\infty[.
  • Foi dado o valor y=10.
  • O que é pedido: determinar \left(f^{-1}\right)^{\prime}(y) para y=10; isto é, encontrar a derivada da função inversa de f avaliada em y=10.
  • Informação útil que precisaremos: para calcular \left(f^{-1}\right)^{\prime}(10) precisamos encontrar o(s) ponto(s) x tal que f(x)=10 e então aplicar a relação que liga a derivada da inversa com a derivada de f.

Passo 2

Fórmula e justificativa (mini-aula): como obter a derivada da inversa.
  • Começamos da identidade que vale para uma função inversível localmente:
f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=y.
  • Diferenciando ambos os lados em relação a y (uso da regra da cadeia): a derivada do lado esquerdo é a derivada de f avaliada em f^{-1}(y) vezes a derivada de f^{-1}(y). Assim obtém-se
f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)\cdot\bigl(f^{-1}\bigr)'(y)=1.
  • Isolando \bigl(f^{-1}\bigr)'(y) vem a fórmula clássica:
\bigl(f^{-1}\bigr)'(y)=\dfrac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}.
  • Condições para usar: é preciso que f seja diferenciável no ponto x=f^{-1}(y) e que f'(x)\neq0 (para evitar divisão por zero). Também é necessário que exista um único x no domínio dado tal que f(x)=y (ou seja, que haja uma inversa local neste y).

Passo 3

Encontrar o(s) ponto(s) x tais que f(x)=10.
  • Escrever a equação:
x^{2}+4x-2=10.
  • Subtrair 10 dos dois lados:
x^{2}+4x-12=0.
  • Resolver a equação quadrática. Calcular o discriminante:
\Delta=4^{2}-4\cdot1\cdot(-12)=16+48=64.
  • Como \sqrt{\Delta}=8, as raízes são
x=\dfrac{-4\pm 8}{2}.
  • Portanto as soluções são
x_{1}=\dfrac{-4+8}{2}=2,\qquad x_{2}=\dfrac{-4-8}{2}=-6.

Passo 4

Verificar quais soluções pertencem ao domínio dado x\in[-2,+\infty[ e garantir unicidade do pré-imagem.
  • Das soluções encontradas, x_{1}=2 pertence a [-2,+\infty[ porque 2\ge-2.
  • A outra solução x_{2}=-6 NÃO pertence ao domínio, pois -6<-2.
  • Conclusão: no domínio dado há exatamente um x tal que f(x)=10, e esse x é x=2. Assim a inversa local em y=10 corresponde a esse x.

Passo 5

Calcular f'(x) e avaliá-la em x=2; verificar a condição f'(2)\neq0.
  • Calcular a derivada de f:
f'(x)=2x+4.
  • Avaliar em x=2:
f'(2)=2\cdot 2+4=4+4=8.
  • Observação: f'(2)=8\neq0, então podemos usar a fórmula da derivada da inversa sem problemas.

Passo 6

Aplicar a fórmula da derivada da inversa e obter o valor procurado.
  • Usando
\bigl(f^{-1}\bigr)'(y)=\dfrac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)},
e lembrando que f^{-1}(10)=2, obtemos
\bigl(f^{-1}\bigr)'(10)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{8}.

Resposta

\dfrac{1}{8}

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