Determine
nos pontos indicados, nos casos a seguir:
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Foi dado
com domínio . - Foi dado o valor
. - O que é pedido: determinar
para ; isto é, encontrar a derivada da função inversa de avaliada em . - Informação útil que precisaremos: para calcular
precisamos encontrar o(s) ponto(s) tal que e então aplicar a relação que liga a derivada da inversa com a derivada de .
Passo 2
Fórmula e justificativa (mini-aula): como obter a derivada da inversa.
- Começamos da identidade que vale para uma função inversível localmente:
- Diferenciando ambos os lados em relação a
(uso da regra da cadeia): a derivada do lado esquerdo é a derivada de avaliada em vezes a derivada de . Assim obtém-se
- Isolando
vem a fórmula clássica:
- Condições para usar: é preciso que
seja diferenciável no ponto e que (para evitar divisão por zero). Também é necessário que exista um único no domínio dado tal que (ou seja, que haja uma inversa local neste ).
Passo 3
Encontrar o(s) ponto(s)
tais que
.
- Escrever a equação:
- Subtrair
dos dois lados:
- Resolver a equação quadrática. Calcular o discriminante:
- Como
, as raízes são
- Portanto as soluções são
Passo 4
Verificar quais soluções pertencem ao domínio dado
e garantir unicidade do pré-imagem.
- Das soluções encontradas,
pertence a porque . - A outra solução
NÃO pertence ao domínio, pois . - Conclusão: no domínio dado há exatamente um
tal que , e esse é . Assim a inversa local em corresponde a esse .
Passo 5
Calcular
e avaliá-la em
; verificar a condição
.
- Calcular a derivada de
:
- Avaliar em
:
- Observação:
, então podemos usar a fórmula da derivada da inversa sem problemas.
Passo 6
Aplicar a fórmula da derivada da inversa e obter o valor procurado.
- Usando
e lembrando que
, obtemos