Determine a derivada
das funções dadas implicitamente por:
Passo 1
O enunciado me dá a relação implícita
e pede para encontrar a derivada
(ou seja,
) da função
definida implicitamente por essa relação.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A igualdade envolve
e misturados dentro de uma exponencial e também fora dela. - Não foi dada uma expressão explícita
; portanto, devemos usar diferenciação implícita para obter .
Passo 2
Ideia geral (em palavras simples): tratar
como uma função de
, isto é
, e derivar ambos os lados da igualdade em relação a
. Sempre que aparecer
dentro de uma expressão, aplicar a regra da cadeia (porque
depende de
). Vou lembrar duas regras que usarei:
- Regra da cadeia para exponencial: se
, então
Aqui
será
.
- Regra do produto: se temos
, então
No caso de
, pense em
e
; assim
Passo 3
Aplicando as regras ao lado esquerdo
. Tomo
. Pela regra da cadeia:
Agora calcule
usando a regra do produto:
Portanto
Passo 4
Agora derivo o lado direito
termo a termo em relação a
. Lembre:
-
. -
(porque é função de ). -
.
Logo
Passo 5
Igualando as derivadas dos dois lados (pois as duas expressões eram iguais para todo
na relação original), obtenho a equação diferencial algébrica:
Passo 6
Agora isolo
. Primeiro distribuo os termos no lado esquerdo:
Quero juntar todos os termos que contêm
de um lado e os restantes do outro. Subtraio
e subtraio
de ambos os lados:
Passo 7
Fatoro
no lado esquerdo:
Finalmente, divido ambos os lados por
, desde que esse fator não seja zero (casos em que ele é zero correspondem a pontos onde a derivada pode ser indefinida — tangente vertical; isso pode ser verificado separadamente se necessário):
Passo 8
Observação prática e forma alternativa: multiplicando numerador e denominador por
obtém-se uma forma equivalente
que às vezes fica mais confortável dependendo do contexto. As duas expressões são algebraicamente idênticas quando o denominador não é zero.