Determine a derivada y^{\prime} das funções dadas implicitamente por:
e^{x y}=x+y-3

Passo 1

O enunciado me dá a relação implícita
e^{x y}=x+y-3,
e pede para encontrar a derivada y' (ou seja, \dfrac{dy}{dx}) da função y definida implicitamente por essa relação.
Informações relevantes fornecidas:
  • A igualdade envolve x e y misturados dentro de uma exponencial e também fora dela.
  • Não foi dada uma expressão explícita y=f(x); portanto, devemos usar diferenciação implícita para obter y'.

Passo 2

Ideia geral (em palavras simples): tratar y como uma função de x, isto é y=y(x), e derivar ambos os lados da igualdade em relação a x. Sempre que aparecer y dentro de uma expressão, aplicar a regra da cadeia (porque y depende de x). Vou lembrar duas regras que usarei:
  • Regra da cadeia para exponencial: se u=u(x), então
\frac{d}{dx}\bigl(e^{u(x)}\bigr)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aqui u(x) será x y(x).
  • Regra do produto: se temos u(x)\cdot v(x), então
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'\,v+u\,v'.
No caso de x\cdot y(x), pense em u(x)=x e v(x)=y(x); assim
\frac{d}{dx}\bigl(x\cdot y(x)\bigr)=1\cdot y(x)+x\cdot y'(x)=y+x y'.

Passo 3

Aplicando as regras ao lado esquerdo \,e^{x y}\,. Tomo u(x)=x y(x). Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x y}\bigr)=e^{x y}\cdot\frac{d}{dx}(x y).
Agora calcule \dfrac{d}{dx}(x y) usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}(x y)=y+x y'.
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x y}\bigr)=e^{x y}\bigl(y+x y'\bigr).

Passo 4

Agora derivo o lado direito x+y-3 termo a termo em relação a x. Lembre:
  • \dfrac{d}{dx}(x)=1.
  • \dfrac{d}{dx}(y)=y' (porque y é função de x).
  • \dfrac{d}{dx}(3)=0.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl(x+y-3\bigr)=1+y'.

Passo 5

Igualando as derivadas dos dois lados (pois as duas expressões eram iguais para todo x na relação original), obtenho a equação diferencial algébrica:
e^{x y}\bigl(y+x y'\bigr)=1+y'.

Passo 6

Agora isolo y'. Primeiro distribuo os termos no lado esquerdo:
e^{x y}y+e^{x y}x y'=1+y'.
Quero juntar todos os termos que contêm y' de um lado e os restantes do outro. Subtraio y' e subtraio e^{x y}y de ambos os lados:
e^{x y}x y'-y'=1-e^{x y}y.

Passo 7

Fatoro y' no lado esquerdo:
y'\bigl(e^{x y}x-1\bigr)=1-e^{x y}y.
Finalmente, divido ambos os lados por \bigl(e^{x y}x-1\bigr), desde que esse fator não seja zero (casos em que ele é zero correspondem a pontos onde a derivada pode ser indefinida — tangente vertical; isso pode ser verificado separadamente se necessário):
y'=\frac{1-e^{x y}y}{e^{x y}x-1}.

Passo 8

Observação prática e forma alternativa: multiplicando numerador e denominador por -1 obtém-se uma forma equivalente
y'=\frac{e^{x y}y-1}{1-e^{x y}x},
que às vezes fica mais confortável dependendo do contexto. As duas expressões são algebraicamente idênticas quando o denominador não é zero.

Resposta

y'=\frac{1-e^{x y}y}{e^{x y}x-1}

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