Determine:
lim x infty(pi x-1pi x-2)^x+3

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftyl(pi x-1pi x-2r)^,x+3
Isso é um limite do tipo (1+ux)^vx quando xtoinfty, então vamos usar a ideia de escrever a expressão como
expl(vxln(1+ux)r)
e avaliar o limite do expoente.

Passo 2

Reescrevemos a base na forma 1+ algo pequeno:
pi x-1pi x-2 =1+(pi x-1)-(pi x-2)pi x-2 =1+1pi x-2

Passo 3

Definindo
f(x)=l(1+tfrac1pi x-2r)^,x+3,
podemos escrever
f(x)=expl((x+3),lnl(1+tfrac1pi x-2r)r)
Logo, basta calcular
L=limxtoinfty(x+3),ln!l(1+tfrac1pi x-2r)

Passo 4

Para xtoinfty, o termo tfrac1pi x-2 é pequeno, e usamos a expansão ln(1+u)sim u. Assim
(x+3),ln!l(1+tfrac1pi x-2r) sim (x+3),1pi x-2
Agora
limxtoinftyx+3pi x-2 =1pi
Portanto L=1/pi.

Passo 5

Voltando à função original, como
limxtoinftyln f(x)=L=1pi,
vemos que
limxtoinftyf(x) =expl(tfrac1pir) =e^1/pi

Resposta

e^1/pi

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