Mostre que
não existem x e y reais, tais que 1x+1y=1x+y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existem números reais x e y que satisfaçam
1x + 1y = 1x + y
O conteúdo aqui é manipulação algébrica de frações e análise de quando uma soma de quadrados pode ser zero. Vamos precisar considerar as restrições de domínio e então simplificar a equação até chegar a uma contradição.

Passo 2

Verificamos primeiro as restrições de domínio. Para que todas as frações façam sentido, devemos ter
x neq 0, y neq 0, x+y neq 0

Passo 3

Colocamos as parcelas da esquerda sobre um denominador comum:
1x + 1y = y + xxy = x + yxy
A equação original vira então
x + yxy = 1x+y

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por xy(x+y), que é não nulo pelas restrições de domínio:
(x+y)^2 = xy
Expandindo o quadrado no lado esquerdo,
x^2 + 2xy + y^2 = xy
Passando todos os termos para um lado,
x^2 + 2xy + y^2 - xy = 0 Longrightarrow x^2 + xy + y^2 = 0

Passo 5

Note que para quaisquer x,yinR a expressão
x^2 + xy + y^2
é sempre não negativa. De fato, podemos ver isso como um polinômio em x:
x^2 + yx + y^2 = 0
tem discriminante
De<a = y^2 - 4cdot1cdot y^2 = -3y^2 <= 0,
sendo estritamente negativo sempre que yneq 0. Como y=0 é proibido pelo domínio, não existem raízes reais. Alternativamente, reconhecemos que
x^2 + xy + y^2 = 12l((x+y)^2 + x^2 + y^2r)
é soma de quadrados e só pode ser zero se x=y=0, o que também não está no domínio. Logo não há solução real.

Resposta

Não existem x,yinR satisfazendo 1x+1y=1x+y.

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