Mostre que
não existem
e
reais, tais que
.
não existem
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existem números reais
e
que satisfaçam
O conteúdo aqui é manipulação algébrica de frações e análise de quando uma soma de quadrados pode ser zero. Vamos precisar considerar as restrições de domínio e então simplificar a equação até chegar a uma contradição.
Passo 2
Verificamos primeiro as restrições de domínio. Para que todas as frações façam sentido, devemos ter
Passo 3
Colocamos as parcelas da esquerda sobre um denominador comum:
A equação original vira então
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
, que é não nulo pelas restrições de domínio:
Expandindo o quadrado no lado esquerdo,
Passando todos os termos para um lado,
Passo 5
Note que para quaisquer
a expressão
é sempre não negativa. De fato, podemos ver isso como um polinômio em
:
tem discriminante
sendo estritamente negativo sempre que
. Como
é proibido pelo domínio, não existem raízes reais. Alternativamente, reconhecemos que
é soma de quadrados e só pode ser zero se
, o que também não está no domínio. Logo não há solução real.
Resposta
Não existem
satisfazendo
.