Determine:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{2}}.
Informações claras que o enunciado dá:
  • O numerador é e^{x}.
  • O denominador é x^{2}.
  • A variável x tende para +\infty.
    Observação imediata (sem resolver ainda): ao fazermos x\to\infty temos que e^{x}\to\infty e x^{2}\to\infty, portanto a expressão tem a forma indeterminada \infty/\infty.

Passo 2

Vou usar uma ferramenta muito útil para situações com forma indeterminada \infty/\infty: a regra de L’Hôpital. Enunciado da regra (versão para \infty/\infty), explicado de forma simples:
  • Se \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\infty e \displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=\infty (ou ambos 0), e se f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq0 próximo de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite do lado direito exista (ou seja \pm\infty).
Explicação rápida do que significa cada coisa:
  • f'(x) é a derivada de f em relação a x (taxa de variação instantânea de f).
  • A regra diz: quando temos \infty/\infty, podemos derivar numerador e denominador separadamente e estudar o limite da nova razão.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital pela primeira vez à nossa função:
Aqui f(x)=e^{x} e g(x)=x^{2}. As derivadas são:
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, \qquad g'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}=2x.
Assim, pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{2x}.
Verificação da nova forma: ao fazermos x\to\infty ainda temos e^{x}\to\infty e 2x\to\infty, ou seja continuamos com a forma \infty/\infty. Podemos aplicar L’Hôpital novamente.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital uma segunda vez à expressão \dfrac{e^{x}}{2x}:
As derivadas são:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}(2x)=2.
Portanto, novamente pela regra,
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{2x}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{2}.
Agora, ao fazermos x\to\infty, claramente e^{x}\to\infty, então
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{2}=\infty.
Pelo processo de L’Hôpital (duas aplicações), concluímos que a nossa razão original também diverge para +\infty.

Passo 5

Vou oferecer uma verificação alternativa, que ajuda a entender por que a exponencial vence qualquer polinômio. Considere o logaritmo natural da expressão:
\ln\!\left(\frac{e^{x}}{x^{2}}\right)=\ln(e^{x})-\ln(x^{2})=x-2\ln x.
Estudar \lim_{x\to\infty}\bigl(x-2\ln x\bigr). Observe que \ln x cresce muito mais devagar que x; de fato
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0,
o que pode ser mostrado por L’Hôpital (derivando \ln x 1/x e derivando x 1, então o limite do quociente é 0). Assim 2\ln x é desprezível comparado a x quando x\to\infty, e portanto x-2\ln x\to\infty. Como o logaritmo da nossa expressão tende a +\infty, a expressão original tende a +\infty também. Isso confirma o resultado anterior e dá intuição: e^{x} cresce muito mais rápido que x^{2}.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: o resultado diz que, quando x fica muito grande, o numerador e^{x} é tão maior que o denominador x^{2} que a razão explode para +\infty. Em provas, um caminho rápido é aplicar L’Hôpital repetidas vezes até o denominador ficar constante, ou usar o logaritmo como fiz acima. Você está indo bem — lembre que experimentar ambos os métodos ajuda a fixar a intuição.

Resposta

\infty

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