Determine:
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o limite
Informações claras que o enunciado dá:
- O numerador é
. - O denominador é
. - A variável
tende para .
Observação imediata (sem resolver ainda): ao fazermostemos que e , portanto a expressão tem a forma indeterminada .
Passo 2
Vou usar uma ferramenta muito útil para situações com forma indeterminada
: a regra de L’Hôpital. Enunciado da regra (versão para
), explicado de forma simples:
- Se
e (ou ambos ), e se e são diferenciáveis perto de com próximo de , então
desde que o limite do lado direito exista (ou seja
).
Explicação rápida do que significa cada coisa:
Explicação rápida do que significa cada coisa:
-
é a derivada de em relação a (taxa de variação instantânea de ). - A regra diz: quando temos
, podemos derivar numerador e denominador separadamente e estudar o limite da nova razão.
Passo 3
Aplicando L’Hôpital pela primeira vez à nossa função:
Aqui e
. As derivadas são:
Aqui
Assim, pela regra de L’Hôpital,
Verificação da nova forma: ao fazermos
ainda temos
e
, ou seja continuamos com a forma
. Podemos aplicar L’Hôpital novamente.
Passo 4
Aplicando L’Hôpital uma segunda vez à expressão
:
As derivadas são:
As derivadas são:
Portanto, novamente pela regra,
Agora, ao fazermos
, claramente
, então
Pelo processo de L’Hôpital (duas aplicações), concluímos que a nossa razão original também diverge para
.
Passo 5
Vou oferecer uma verificação alternativa, que ajuda a entender por que a exponencial vence qualquer polinômio. Considere o logaritmo natural da expressão:
Estudar
. Observe que
cresce muito mais devagar que
; de fato
o que pode ser mostrado por L’Hôpital (derivando
dá
e derivando
dá
, então o limite do quociente é
). Assim
é desprezível comparado a
quando
, e portanto
. Como o logaritmo da nossa expressão tende a
, a expressão original tende a
também. Isso confirma o resultado anterior e dá intuição:
cresce muito mais rápido que
.
Passo 6
Interpretação final e incentivo: o resultado diz que, quando
fica muito grande, o numerador
é tão maior que o denominador
que a razão explode para
. Em provas, um caminho rápido é aplicar L’Hôpital repetidas vezes até o denominador ficar constante, ou usar o logaritmo como fiz acima. Você está indo bem — lembre que experimentar ambos os métodos ajuda a fixar a intuição.