Calcule:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}+3}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite quando x tende a infinito da função racional
\frac{2x^{2}+3}{x^{2}-1}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão de polinômios: numerador 2x^{2}+3 e denominador x^{2}-1.
  • O objetivo é determinar
\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}+3}{x^{2}-1}.

Passo 2

Vou escolher um método prático e que funciona sempre bem para esse tipo de limite: dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x^{2}). Por que esse método? Porque, quando x\to\infty, termos com potências menores de x (como constantes ou 1/x, 1/x^{2}) ficam muito pequenos e desaparecem na conta do limite; dividir por x^{2} deixa aparente quais termos dominam. Este é o método padrão para limites de funções racionais quando x\to\infty.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x^{2}. Escrevendo com calma:
\frac{2x^{2}+3}{x^{2}-1} = \frac{\dfrac{2x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{3}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 4

Simplificando cada fração dentro do numerador e do denominador:
\frac{2x^{2}+3}{x^{2}-1} = \frac{2+\dfrac{3}{x^{2}}}{1-\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 5

Agora uso fatos simples sobre limites:
  • Para x\to\infty vale \dfrac{3}{x^{2}}\to 0 porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador constante 3.
  • Também \dfrac{1}{x^{2}}\to 0.
    Esses limites podem ser vistos intuivamente (ou formalmente: 0<\dfrac{1}{x^{2}}\le \dfrac{1}{x} para x\ge1, e \dfrac{1}{x}\to0), portanto \dfrac{3}{x^{2}}\to0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to0.

Passo 6

Aplicando as propriedades de limite (limite da soma e quociente quando denominador tende a número não nulo), obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{2+\dfrac{3}{x^{2}}}{1-\dfrac{1}{x^{2}}} = \frac{2+0}{1-0}= \frac{2}{1}=2.

Passo 7

Interpretação final e dica para prova: quando as potências máximas do numerador e denominador são iguais (aqui ambas x^{2}), o limite no infinito é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui 2 sobre 1 = 2). Exemplos rápidos:
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{5x^{3}+1}{2x^{3}-7}= \frac{5}{2}.
  • Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o limite é \infty (ou -\infty dependendo dos sinais).
  • Se o grau do numerador for menor, o limite é 0.

Resposta

2

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