Calcule:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite quando
tende a infinito da função racional
Informações dadas:
- A expressão é uma razão de polinômios: numerador
e denominador . - O objetivo é determinar
Passo 2
Vou escolher um método prático e que funciona sempre bem para esse tipo de limite: dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui é
). Por que esse método? Porque, quando
, termos com potências menores de
(como constantes ou
,
) ficam muito pequenos e desaparecem na conta do limite; dividir por
deixa aparente quais termos dominam. Este é o método padrão para limites de funções racionais quando
.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
. Escrevendo com calma:
Passo 4
Simplificando cada fração dentro do numerador e do denominador:
Passo 5
Agora uso fatos simples sobre limites:
- Para
vale porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador constante . - Também
.
Esses limites podem ser vistos intuivamente (ou formalmente:para , e ), portanto e .
Passo 6
Aplicando as propriedades de limite (limite da soma e quociente quando denominador tende a número não nulo), obtemos
Passo 7
Interpretação final e dica para prova: quando as potências máximas do numerador e denominador são iguais (aqui ambas
), o limite no infinito é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui
sobre
=
). Exemplos rápidos:
-
- Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o limite é
(ou dependendo dos sinais). - Se o grau do numerador for menor, o limite é
.
Resposta
2