Calcule:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3 x^{2}-x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{3x^{2}-x}{x^{2}+1}.
Informações fornecidas:
  • A função é uma razão de polinômios: numerador 3x^{2}-x e denominador x^{2}+1.
  • O grau do numerador é 2 e o grau do denominador é 2 (mesma ordem).
  • Os coeficientes líderes (dos termos com maior potência) são 3 no numerador e 1 no denominador.

Passo 2

Estratégia e ideia principal (explicação didática):
  • Para limites em x\to\pm\infty de funções racionais (quociente de polinômios), o comportamento é dominado pelos termos de maior grau.
  • Caso os graus sejam iguais, o limite é o quociente dos coeficientes líderes.
  • Uma forma padrão de justificar isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente (aqui x^{2}) e usar que 1/x\to 0 e 1/x^{2}\to 0 quando x\to -\infty.

Passo 3

Aplicando a técnica: dividir por x^{2}.
\frac{3x^{2}-x}{x^{2}+1} = \frac{x^{2}\!\left(3-\dfrac{1}{x}\right)}{x^{2}\!\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)} = \frac{3-\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 4

Avaliar o limite dos termos pequenos:
  • Tem-se \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x}=0 porque o denominador cresce em módulo sem limite.
  • Tem-se \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0 porque x^{2} cresce e é sempre positivo.
    Logo,
\lim_{x\to -\infty}\frac{3-\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{1}{x^{2}}} = \frac{3-0}{1+0}=3.

Passo 5

Interpretação e reforço didático:
  • Como os graus dos polinômios no numerador e no denominador são iguais, o termo dominante é 3x^{2} no numerador e 1\cdot x^{2} no denominador; por isso o limite é 3/1=3.
  • Observação sobre o sinal de x: aqui x\to -\infty não altera o resultado porque os termos dominantes são de potência par ( x^{2}), que são positivos para grandes |x|.
  • Exemplos rápidos para fixar:
    • Se o grau do numerador fosse menor, por exemplo \dfrac{x}{x^{2}+1}, o limite em x\to -\infty seria 0.
    • Se o grau do numerador fosse maior, por exemplo \dfrac{x^{3}}{x^{2}+1}, o limite em x\to -\infty seria -\infty (porque domina um x ímpar que vai para -\infty).

Resposta

3

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