Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações fornecidas:
- A função é uma razão de polinômios: numerador
e denominador . - O grau do numerador é
e o grau do denominador é (mesma ordem). - Os coeficientes líderes (dos termos com maior potência) são
no numerador e no denominador.
Passo 2
Estratégia e ideia principal (explicação didática):
- Para limites em
de funções racionais (quociente de polinômios), o comportamento é dominado pelos termos de maior grau. - Caso os graus sejam iguais, o limite é o quociente dos coeficientes líderes.
- Uma forma padrão de justificar isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (aqui ) e usar que e quando .
Passo 3
Aplicando a técnica: dividir por
.
Passo 4
Avaliar o limite dos termos pequenos:
- Tem-se
porque o denominador cresce em módulo sem limite. - Tem-se
porque cresce e é sempre positivo.
Logo,
Passo 5
Interpretação e reforço didático:
- Como os graus dos polinômios no numerador e no denominador são iguais, o termo dominante é
no numerador e no denominador; por isso o limite é . - Observação sobre o sinal de
: aqui não altera o resultado porque os termos dominantes são de potência par ( ), que são positivos para grandes . - Exemplos rápidos para fixar:
- Se o grau do numerador fosse menor, por exemplo
, o limite em seria . - Se o grau do numerador fosse maior, por exemplo
, o limite em seria (porque domina um ímpar que vai para ).
- Se o grau do numerador fosse menor, por exemplo