Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
t)
t)
Passo 1
O enunciado pede
que é um limite de função de duas variáveis. Para ver se o limite existe e se é finito, a gente costuma testar caminhos diferentes e, se tudo indicar que a expressão cresce sem bound, mostrar formalmente que tende a
.
Passo 2
Vamos primeiro pelos eixos coordenados.
Se , então
Se
e à medida que
isso vai para
.
Se , então
Se
e quando
também tende a
.
Passo 3
Agora um caminho genérico
com
. Substituindo:
e de novo, para
, o fator
manda tudo para
.
Passo 4
Para fechar de forma geral, note que para
vale
Logo
Seja
. Para qualquer
, escolhendo
temos que, sempre que
,
Isso mostra que a expressão cresce além de qualquer
quando
, ou seja, o limite é
.