Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
t)

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(0,0)|x|+|y|x^2+5y^2,
que é um limite de função de duas variáveis. Para ver se o limite existe e se é finito, a gente costuma testar caminhos diferentes e, se tudo indicar que a expressão cresce sem bound, mostrar formalmente que tende a +infty.

Passo 2

Vamos primeiro pelos eixos coordenados.
Se y=0, então
|x|+|0|x^2+5cdot0^2 =|x|x^2 =1|x|,
e à medida que xto0 isso vai para +infty.
Se x=0, então
|0|+|y|0^2+5y^2 =|y|5y^2 =15|y|,
e quando yto0 também tende a +infty.

Passo 3

Agora um caminho genérico y=mx com mneq0. Substituindo:
|x|+|m x|x^2+5(m x)^2 =(1+|m|),|x|l(1+5m^2r)x^2 =1+|m|1+5m^2,1|x|,
e de novo, para xto0, o fator tfrac1|x| manda tudo para +infty.

Passo 4

Para fechar de forma geral, note que para (x,y)neq(0,0) vale
|x|+|y|;>=;raizx^2+y^2, x^2+5y^2;<=;5l(x^2+y^2r)
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|x|+|y|x^2+5y^2 ;>=; raizx^2+y^25,(x^2+y^2) =15raizx^2+y^2
Seja r=raizx^2+y^2. Para qualquer M>0, escolhendo
de<a=15M,
temos que, sempre que 0<r<de<a,
|x|+|y|x^2+5y^2 ;>=; 15r ;>; 15de<a ;=;M
Isso mostra que a expressão cresce além de qualquer M quando (x,y)to(0,0), ou seja, o limite é +infty.

Resposta

lim(x,y)to(0,0)|x|+|y|x^2+5y^2 =+infty

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