Sejam P um polinômio de grau m e Q um polinômio de grau n. Prove que
o grau de P+Q é menor ou igual ao maior valor entre m e $n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois polinômios P e Q de graus m e n respectivamente, vale
deg(P+Q)<= max(m,n)
O conteúdo usado é a definição de grau de polinômio e o comportamento do termo de maior grau ao somar dois polinômios.

Passo 2

Escrevemos
P(x)=am x^m + am-1x^m-1 + cdots + a0, amneq0,
Q(x)=bn x^n + bn-1x^n-1 + cdots + b0, bnneq0

Passo 3

Seja M=max(m,n). Vamos analisar três casos:
  • Caso m>n: então em P+Q o termo de maior potência é am x^m, pois todos os termos de Q têm grau <= n<m. Logo
deg(P+Q)=m=M

Passo 4

  • Caso m<n: analogamente, o termo de maior potência vem de Q, que é bn x^n, pois todos os termos de P têm grau <= m<n. Então
deg(P+Q)=n=M

Passo 5

  • Caso m=n: o termo de grau máximo em P+Q é (am+bn)x^m.
    • Se am+bnneq0, então
    deg(P+Q)=m=M
    • Se am+bn=0, o coeficiente desse termo some e o grau de P+Q passa a ser estritamente menor que m, isto é
    deg(P+Q)<= m-1<M

Passo 6

Em todos os casos obtemos
deg(P+Q)<= M=max(m,n),
como queríamos demonstrar.

Resposta

deg(P+Q)<= max(m,n).

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