Sejam
um polinômio de grau
e
um polinômio de grau
. Prove que
o grau de
é menor ou igual ao maior valor entre
e $n.
o grau de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois polinômios
e
de graus
e
respectivamente, vale
O conteúdo usado é a definição de grau de polinômio e o comportamento do termo de maior grau ao somar dois polinômios.
Passo 2
Escrevemos
Passo 3
Seja
. Vamos analisar três casos:
- Caso
: então em o termo de maior potência é , pois todos os termos de têm grau . Logo
Passo 4
- Caso
: analogamente, o termo de maior potência vem de , que é , pois todos os termos de têm grau . Então
Passo 5
- Caso
: o termo de grau máximo em é . - Se
, então
- Se
, o coeficiente desse termo some e o grau de passa a ser estritamente menor que , isto é
- Se
Passo 6
Em todos os casos obtemos
como queríamos demonstrar.