Determine o limite, caso exista, das seguintes sequências:
an=(1+43 n)^5 n

Passo 1

Tranquilo! O enunciado pede pra gente encontrar o limite da sequência an = (1 + 43n)^5n. Isso cai em Limites de Sequências, usando a definição do número e. Vamos precisar da ideia de que e = limktoinfty(1 + 1k)^k.

Passo 2

Pra encaixar no formato (1+tfrac1k)^k, observe que 43n é igual a 1m se a gente definir m = tfrac3n4. Quando ntoinfty, mtoinfty também. Então reescrevendo:
an = (1 + 43n)^5n
Com m = tfrac3n4:
43n = 1m, 5n = 203m
Logo:
an = (1 + 1m)^203m = [(1 + 1m)^m]^203

Passo 3

Agora usamos que, por definição, limmtoinfty(1 + tfrac1m)^m = e. Assim, quando mtoinfty, a parte (1 + 1/m)^m vai pra e, e daí:
limntoinftyan = limmtoinfty [(1 + tfrac1m)^m]^203 = e^203

Resposta

e^{\tfrac{20}{3}}

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