Represente as funções abaixo por meio de séries de potências e determine o raio de convergência.
x^2 arctan (x^3)

Passo 1

O enunciado pede para representar a função f(x)=x^2arctan(x^3) por meio de série de potências e determinar o raio de convergência. Vamos usar o desenvolvimento em série de Maclaurin de arctan(z) e depois fazer a substituição z=x^3 e multiplicar por x^2.

Passo 2

Lembrando que, para |z|<1, a expansão de Maclaurin de arctan(z) é
arctan(z) ;=; sumn=0^infty (-1)^n,z^2n+12n+1

Passo 3

Substituindo z=x^3 nessa série, obtemos
arctan(x^3) ;=; sumn=0^infty (-1)^n,(x^3)^2n+12n+1 ;=; sumn=0^infty (-1)^n,x^6n+32n+1

Passo 4

Agora multiplicamos por x^2, chegando à série de potências de f(x):
x^2arctan(x^3) ;=; sumn=0^infty (-1)^n,x^6n+52n+1

Passo 5

O critério de convergência vem de |x^3|<1, ou seja |x|<1. Portanto, o raio de convergência é
R = 1

Resposta

x^2arctan(x^3) ;=; sumn=0^infty (-1)^n,x^6n+52n+1, R = 1

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