Encontre a solução geral da equação diferencial em cada caso:
d yd t+2 t1+t^2 y=11+t^2;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
dydt + 2t1+t^2,y = 11+t^2,
que está na forma
dydt + p(t),y = q(t),
com p(t)=2t1+t^2 e q(t)=11+t^2. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(t) definido por
mu(t) = expl(integral p(t),dtr) = expl(integral 2t1+t^2,dtr)
Fazendo a substituição u=1+t^2, du=2t,dt, obtemos
integral 2t1+t^2,dt = integral duu = ln|u| = ln(1+t^2),
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mu(t) = e^ln(1+t^2) = 1+t^2

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t)=1+t^2. O lado esquerdo torna-se a derivada do produto mu(t),y:
(1+t^2)dydt + 2t1+t^2(1+t^2),y = ddtl[(1+t^2),yr]
O lado direito fica (1+t^2)cdot11+t^2=1. Logo a equação transforma-se em
ddtl[(1+t^2),yr] = 1

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddtl[(1+t^2),yr],dt = integral 1,dt Longrightarrow (1+t^2),y = t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y para obter a solução geral:
y(t) = t + C1+t^2 = t1+t^2 + C1+t^2

Resposta

A solução geral é
y(t) = t + C1+t^2,
onde C é constante arbitrária.

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