Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{x^{4}-(y-1)^{4}}{x^{2}-(y-1)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{(x,y)\to(0,1)}\frac{x^{4}-(y-1)^{4}}{x^{2}-(y-1)^{2}}.
O conteúdo aplicado inclui
– fatoração de polinômios (diferença de quadrados),
– propriedade de igualdade de limites em um entorno descontado,
– continuidade de funções polinomiais.

Passo 2

Defina \Delta = y-1. Então
x^{4}-(y-1)^{4} \;=\; x^{4}-\Delta^{4} \;=\;(x^{2}-\Delta^{2})(x^{2}+\Delta^{2})
e
x^{2}-(y-1)^{2} \;=\; x^{2}-\Delta^{2}.

Passo 3

Para (x,y)\neq(0,1) suficientemente próximo de (0,1), tem-se x^{2}-\Delta^{2}\neq0, então podemos cancelar esse fator:
\frac{x^{4}-\Delta^{4}}{x^{2}-\Delta^{2}} =\frac{(x^{2}-\Delta^{2})(x^{2}+\Delta^{2})}{x^{2}-\Delta^{2}} = x^{2}+\Delta^{2} = x^{2}+(y-1)^{2}.
Pelo Teorema da igualdade de limites, a função original e a simplificada têm o mesmo limite.

Passo 4

A função
g(x,y)=x^{2}+(y-1)^{2}
é um polinômio em (x,y), logo contínua em todo \mathbb{R}^2. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,1)}g(x,y) =0^{2}+(1-1)^{2} =0.

Resposta

0

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